Komplexa funktioner som är differentierbara i varje punkt i en öppen delmängd Ω {\displaystyle \Omega }
av det komplexa planet sägs vara holomorfa på Ω {\displaystyle \Omega }
. I samband med komplex analys är derivatan av f {\displaystyle f}
vid z 0 {\displaystyle z_{0}}
definieras som f ′ ( z 0 ) = lim z → z 0 f ( z ) – f ( z 0 ) z – z 0 . {\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\till z_{0}}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}.}
Superficiellt sett är denna definition formellt sett analog med definitionen av derivatan av en real funktion. Komplexa derivat och differentierbara funktioner beter sig dock på väsentligt olika sätt jämfört med sina reella motsvarigheter. I synnerhet, för att denna gräns ska existera måste värdet av differenskvoten närma sig samma komplexa tal, oavsett hur vi närmar oss z 0 {\displaystyle z_{0}}
i det komplexa planet. Följaktligen har komplex differentierbarhet mycket starkare konsekvenser än reell differentierbarhet. Till exempel är holomorfa funktioner oändligt differentierbara, medan existensen av den n:e derivatan inte behöver innebära existensen av den (n + 1)e derivatan för reella funktioner. Dessutom uppfyller alla holomorfa funktioner det starkare villkoret för analyticitet, vilket innebär att funktionen i varje punkt i sin domän är lokalt given av en konvergent potensserie. I huvudsak innebär detta att funktioner som är holomorfa på Ω {\displaystyle \Omega }
kan approximeras godtyckligt väl av polynomier i något grannskap till varje punkt i Ω {\displaystyle \Omega }
. Detta står i skarp kontrast till differentierbara reella funktioner; det finns oändligt differentierbara reella funktioner som ingenstans är analytiska; se Icke-analytisk slät funktion § En slät funktion som ingenstans är realanalytisk.
De flesta elementära funktioner, inklusive exponentialfunktionen, de trigonometriska funktionerna och alla polynomiala funktioner, har utvidgats på lämpligt sätt till komplexa argument som funktioner C → C {\displaystyle \mathbb {C} \till \mathbb {C} }
, är holomorfa över hela det komplexa planet, vilket gör dem till hela funktioner, medan rationella funktioner p / q {\displaystyle p/q}
, där p och q är polynom, är holomorfa på domäner som utesluter punkter där q är noll. Sådana funktioner som är holomorfa överallt utom i en uppsättning isolerade punkter kallas meromorfa funktioner. Å andra sidan är funktionerna z ↦ ℜ ( z ) {\displaystyle z\mapsto \Re (z)}
, z ↦ | z | z | {\displaystyle z\mapsto |z|}
, och z ↦ z ¯ {\displaystyle z\mapsto {\bar {z}}}
är inte holomorfa någonstans på det komplexa planet, vilket kan visas genom att de inte uppfyller Cauchy-Riemanns villkor (se nedan).
En viktig egenskap hos holomorfa funktioner är förhållandet mellan de partiella derivatorerna av deras reella och imaginära komponenter, kända som Cauchy-Riemann-villkoren. Om f : C → C {\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }
, definierad genom f ( z ) = f ( x + i y ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) {\displaystyle f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)}
, där x , y , u ( x , y ) , v ( x , y ) ∈ R {\displaystyle x,y,u(x,y),v(x,y)\in \mathbb {R} }
, är holomorf på ett område Ω {\displaystyle \Omega }
, så är ( ∂ f / ∂ z ¯ ) ( z 0 ) = 0 {\displaystyle (\partial f/\partial {\bar {z}})(z_{0})=0}
måste gälla för alla z 0 ∈ Ω {\displaystyle z_{0}\in \Omega }
. Här är differentialoperatorn ∂ / ∂ z ¯ {\displaystyle \partial /\partial {\bar {z}}}
definieras som ( 1 / 2 ) ( ∂ / ∂ x + i ∂ / ∂ y ) {\displaystyle (1/2)(\partial /\partial x+i\partial /\partial y)}
. I termer av funktionens reella och imaginära delar, u och v, är detta likvärdigt med ekvationsparet u x = v y {\displaystyle u_{x}=v_{y}}
och u y = – v x {\displaystyle u_{y}=-v_{x}}
, där subscripts anger partiell differentiering. Cauchy-Riemann-villkoren karakteriserar dock inte holomorfa funktioner utan ytterligare kontinuitetsvillkor (se Looman-Menchoff-satsen).
Holomorfa funktioner uppvisar några anmärkningsvärda egenskaper. Till exempel hävdar Picards sats att området för en hel funktion endast kan anta tre möjliga former: C {\displaystyle \mathbb {C} }
, C ∖ { z 0 } {\displaystyle \mathbb {C} \smallsetminus \{z_{0}\}}
, eller { z 0 } {\displaystyle \{z_{0}\}}
för vissa z 0 ∈ C {\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }
. Med andra ord, om två distinkta komplexa tal z {\displaystyle z}
och w {\displaystyle w}
inte ligger inom området för en hel funktion f {\displaystyle f}
, då är f {\displaystyle f}
är en konstant funktion. Dessutom bestäms en holomorf funktion på en sammanhängande öppen mängd av dess begränsning till en icke-tom öppen delmängd.