Funzioni complesse che sono differenziabili in ogni punto di un sottoinsieme aperto Ω {\displaystyle \Omega }
del piano complesso si dicono olomorfe su Ω {displaystyle \Omega }
. Nel contesto dell’analisi complessa, la derivata di f {\displaystyle f}
a z 0 {displaystyle z_{0}
è definita come f ′ ( z 0 ) = lim z → z 0 f ( z ) – f ( z 0 ) z – z 0 . {Il valore di f'(z_{0})==lim _{z_ a z_{0}}{frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}.}
Superficialmente, questa definizione è formalmente analoga a quella della derivata di una funzione reale. Tuttavia, le derivate complesse e le funzioni differenziabili si comportano in modo significativamente diverso rispetto alle loro controparti reali. In particolare, perché questo limite esista, il valore del quoziente di differenza deve avvicinarsi allo stesso numero complesso, indipendentemente dal modo in cui ci avviciniamo a z 0 {\displaystyle z_{0}}
nel piano complesso. Di conseguenza, la differenziabilità complessa ha implicazioni molto più forti della differenziabilità reale. Per esempio, le funzioni olomorfe sono differenziabili all’infinito, mentre l’esistenza della derivata ennesima non implica necessariamente l’esistenza della derivata (n + 1) per le funzioni reali. Inoltre, tutte le funzioni olomorfe soddisfano la condizione più forte di analiticità, il che significa che la funzione è, in ogni punto del suo dominio, localmente data da una serie di potenza convergente. In sostanza, questo significa che le funzioni olomorfe su Ω {displaystyle \Omega } possono essere approssimate arbitrariamente bene da polinomi in qualche vicinanza di ogni punto di Ω {displaystyle \Omega }
. Questo è in netto contrasto con le funzioni reali differenziabili; ci sono funzioni reali infinitamente differenziabili che non sono analitiche da nessuna parte; vedi Funzione liscia non analitica § Una funzione liscia che non è analitica reale da nessuna parte.
La maggior parte delle funzioni elementari, tra cui la funzione esponenziale, le funzioni trigonometriche e tutte le funzioni polinomiali, estese opportunamente ad argomenti complessi come funzioni C → C {displaystyle \mathbb {C} \a \mathbb {C} }
, sono olomorfe sull’intero piano complesso, il che le rende funzioni intere, mentre le funzioni razionali p / q {\displaystyle p/q}
, dove p e q sono polinomi, sono olomorfe su domini che escludono i punti dove q è zero. Tali funzioni che sono olomorfe ovunque tranne che in un insieme di punti isolati sono note come funzioni meromorfe. D’altra parte, le funzioni z ↦ ℜ ( z ) {\displaystyle z\mapsto \Re (z)}
, z ↦ | z | {displaystyle z\mapsto |z|}
, e z ↦ z ¯ {displaystyle z\mapsto {\bar {z}}
non sono olomorfi in nessun punto del piano complesso, come può essere dimostrato dal loro fallimento nel soddisfare le condizioni di Cauchy-Riemann (vedi sotto).
Un’importante proprietà delle funzioni olomorfe è la relazione tra le derivate parziali delle loro componenti reali e immaginarie, nota come condizioni di Cauchy-Riemann. Se f : C → C {displaystyle f:\mathbb {C} \a \mathbb {C} }
, definito da f ( z ) = f ( x + i y ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) {\displaystyle f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)}
, dove x , y , u ( x , y ), v ( x , y ) ∈ R {displaystyle x,y,u(x,y),v(x,y)\in \mathbb {R}
, è olomorfo su una regione Ω {displaystyle \Omega }
, allora ( ∂ f / ∂ z ¯ ) ( z 0 ) = 0 {\displaystyle (\partial f/\partial {\bar {z}})(z_{0})=0}
deve valere per tutti z 0 ∈ Ω {displaystyle z_{0} in \Omega }
. Qui, l’operatore differenziale ∂ / ∂ z ¯ {displaystyle \parziale /\parziale {z}}
è definito come ( 1 / 2 ) ( ∂ / ∂ x + i ∂ / ∂ y ) {displaystyle (1/2)(\parziale /\parziale x+i\parziale /\parziale y)}
. In termini di parti reali e immaginarie della funzione, u e v, questo è equivalente alla coppia di equazioni u x = v y {displaystyle u_{x}=v_{y}}
e u y = – v x {displaystyle u_{y}=-v_{x}}
, dove i pedici indicano la differenziazione parziale. Tuttavia, le condizioni di Cauchy-Riemann non caratterizzano le funzioni olomorfe, senza ulteriori condizioni di continuità (vedi teorema di Looman-Menchoff).
Le funzioni olomorfe presentano alcune caratteristiche notevoli. Per esempio, il teorema di Picard afferma che l’intervallo di una funzione intera può assumere solo tre forme possibili: C {∖displaystyle ∗mathbb {C} }
, C ∖ { z 0 } {\displaystyle \mathbb {C} \smallsetminus {z_{0}}}
, oppure { z 0 } {displaystyle \{z_{0}}}
per qualche z 0 ∈ C {displaystyle z_{0} in \mathbb {C} }
. In altre parole, se due numeri complessi distinti z {displaystyle z}
e w {displaystyle w}
non sono nell’intervallo di una funzione intera f {\displaystyle f}
, allora f {displaystyle f}
è una funzione costante. Inoltre, una funzione olomorfa su un insieme aperto connesso è determinata dalla sua restrizione a qualsiasi sottoinsieme aperto non vuoto.