Biografi
Aryabhata er også kendt som Aryabhata I for at adskille ham fra den senere matematiker af samme navn, som levede omkring 400 år senere. Al-Biruni har ikke hjulpet med at forstå Aryabhatas liv, for han syntes at tro, at der levede to forskellige matematikere ved navn Aryabhata på samme tid. Han skabte derfor en forvirring om to forskellige Aryabhatas, som først blev afklaret i 1926, da B Datta viste, at al-Birunis to Aryabhatas var én og samme person.
Vi kender Aryabhatas fødselsår, da han fortæller os, at han var treogtyve år gammel, da han skrev Aryabhatiya Ⓣ, som han afsluttede i 499. Vi har angivet Kusumapura, der menes at ligge tæt på Pataliputra (som blev genfødt som Patna i Bihar i 1541), som Aryabhatas fødested, men dette er langt fra sikkert, og det samme gælder selve Kusumapura’s beliggenhed. Som Parameswaran skriver i :-
… kan der ikke gives nogen endelig dom om placeringen af Asmakajanapada og Kusumapura.
Vi ved, at Aryabhata skrev Aryabhatiya Ⓣ i Kusumapura på det tidspunkt, hvor Pataliputra var hovedstad i Gupta-imperiet og et vigtigt center for lærdom, men der har været adskillige andre steder, som historikere har foreslået som hans fødested. Nogle gætter på, at han blev født i det sydlige Indien, måske Kerala, Tamil Nadu eller Andhra Pradesh, mens andre gætter på, at han blev født i det nordøstlige Indien, måske i Bengalen. I hævdes det, at Aryabhata blev født i Asmaka-regionen i Vakataka-dynastiet i Sydindien, selv om forfatteren har accepteret, at han levede det meste af sit liv i Kusumapura i Gupta-imperiet i nord. Angivelsen af Asmaka som Aryabhatas fødested hviler imidlertid på en kommentar fra Nilakantha Somayaji i slutningen af det 15. århundrede. De fleste historikere mener nu, at Nilakantha forvekslede Aryabhata med Bhaskara I, som var en senere kommentator af Aryabhatiya Ⓣ.
Vi bør bemærke, at Kusumapura blev et af de to store matematiske centre i Indien, det andet er Ujjain. Begge ligger i nord, men Kusumapura (hvis man antager, at det ligger tæt på Pataliputra) ligger ved Ganges og er det mere nordlige. Pataliputra, som var hovedstad i Gupta-imperiet på Aryabhatas tid, var centrum for et kommunikationsnetværk, som gjorde det let at nå frem til lærdom fra andre dele af verden, og som også gjorde det muligt for de matematiske og astronomiske fremskridt, som Aryabhata og hans skole gjorde, at nå ud over hele Indien og til sidst også til den islamiske verden.
Med hensyn til de tekster, som Aryabhata skrev, er der kun en enkelt overlevet. Jha hævder dog i det:-
…. Aryabhata var forfatter til mindst tre astronomiske tekster og skrev også nogle frie strofer.
Den overlevende tekst er Aryabhatas mesterværk Aryabhatiya Ⓣ, som er en lille astronomisk afhandling skrevet i 118 vers, der giver et resumé af hinduistisk matematik op til den tid. Dens matematiske del indeholder 33 vers, der giver 66 matematiske regler uden beviser. Aryabhatiya Ⓣ indeholder en indledning på 10 vers, efterfulgt af et afsnit om matematik med, som vi netop har nævnt, 33 vers, derefter et afsnit på 25 vers om tidsregning og planetmodeller, og det sidste afsnit på 50 vers omhandler kuglen og formørkelser.
Der er en vanskelighed ved dette layout, som er diskuteret i detaljer af van der Waerden i . Van der Waerden foreslår, at den 10 vers lange indledning i virkeligheden blev skrevet senere end de tre andre afsnit. En grund til at tro, at de to dele ikke var tænkt som en helhed, er, at det første afsnit har et andet metrum end de resterende tre afsnit. Problemerne stopper dog ikke her. Vi sagde, at det første afsnit havde ti vers, og Aryabhata titulerer faktisk afsnittet Sæt af ti giti strofer. Men det indeholder i virkeligheden elleve giti-stanzaer og to arya-stanzaer. Van der Waerden foreslår, at tre vers er blevet tilføjet, og han identificerer et lille antal vers i de resterende afsnit, som han hævder også er blevet tilføjet af et medlem af Aryabhatas skole i Kusumapura.
Den matematiske del af Aryabhatiya Ⓣ dækker aritmetik, algebra, plan trigonometri og sfærisk trigonometri. Den indeholder også fortsatte brøker, kvadratiske ligninger, summer af potenserier og en tabel over sinus. Lad os undersøge nogle af disse lidt nærmere.
Først ser vi på det system til at repræsentere tal, som Aryabhata opfandt og brugte i Aryabhatiya Ⓣ. Det består i at give numeriske værdier til de 33 konsonanter i det indiske alfabet for at repræsentere 1, 2, 3, … , 25, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100. De højere tal angives med disse konsonanter efterfulgt af en vokal for at opnå 100, 10000, …. Faktisk tillader systemet, at tal op til 101810^{18}1018 kan repræsenteres med en alfabetisk notation. Ifrah i hævder, at Aryabhata også var fortrolig med talsymboler og stedværdisystemet. Han skriver i :-
… det er yderst sandsynligt, at Aryabhata kendte tegnet for nul og taltegnene i stedværdisystemet. Denne formodning er baseret på følgende to kendsgerninger: for det første ville opfindelsen af hans alfabetiske tællesystem have været umulig uden nul eller stedværdisystemet; for det andet udfører han beregninger på kvadrat- og kubiske rødder, som er umulige, hvis de pågældende tal ikke er skrevet i overensstemmelse med stedværdisystemet og nul.
Næste ser vi kort på noget algebra, der er indeholdt i Aryabhatiya Ⓣ. Dette værk er det første, vi har kendskab til, som undersøger heltalsløsninger til ligninger af formen by=ax+cby = ax + cby=ax+c og by=ax-cby = ax – cby=ax-c, hvor a,b,ca, b, ca,b,c er heltal. Problemet er opstået ved at studere problemet i astronomien med at bestemme planeternes perioder. Aryabhata anvender kuttaka-metoden til at løse problemer af denne type. Ordet kuttaka betyder “at pulverisere”, og metoden bestod i at opdele problemet i nye problemer, hvor koefficienterne blev mindre og mindre for hvert trin. Metoden her er i bund og grund brugen af den euklidiske algoritme til at finde den højeste fælles faktor af aaa og bbb, men er også relateret til fortsatte brøker.
Aryabhata gav en præcis tilnærmelse til π. Han skrev i Aryabhatiya Ⓣ følgende:-
Tilføj fire til hundrede, gang med otte og tilføj derefter toogtres tusinde. resultatet er omtrent omkredsen af en cirkel med diameter tyve tusinde. Ved denne regel er forholdet mellem omkreds og diameter givet.
Det giver π=6283220000=3,1416\pi = \large\frac{62832}{20000}\normalstørrelse = 3,1416π=2000062832=3,1416, hvilket er en overraskende præcis værdi. Faktisk er π = 3,14159265 korrekt med 8 pladser. Hvis det er overraskende at opnå en så nøjagtig værdi, er det måske endnu mere overraskende, at Aryabhata ikke bruger sin nøjagtige værdi for π, men foretrækker at bruge √10 = 3,1622 i praksis. Aryabhata forklarer ikke, hvordan han fandt denne nøjagtige værdi, men Ahmad betragter f.eks. denne værdi som en tilnærmelse til halvdelen af omkredsen af en regulær polygon med 256 sider, der er indskrevet i enhedscirklen. I Bruins viser imidlertid, at dette resultat ikke kan opnås ved en fordobling af antallet af sider. En anden interessant artikel, der diskuterer denne nøjagtige værdi af π af Aryabhata, er hvor Jha skriver:-
Aryabhata I’s værdi af π er en meget tæt tilnærmelse til den moderne værdi og den mest nøjagtige blandt de ældgamle. Der er grund til at tro, at Aryabhata udtænkte en særlig metode til at finde denne værdi. Det er vist med tilstrækkelig begrundelse, at Aryabhata selv brugte den, og flere senere indiske matematikere og selv araberne overtog den. Formodningen om, at Aryabhatas værdi af π er af græsk oprindelse, undersøges kritisk og viser sig at være uden grundlag. Aryabhata opdagede denne værdi uafhængigt af hinanden og indså også, at π er et irrationelt tal. Han havde uden tvivl en indisk baggrund, men overgik alle sine forgængere i vurderingen af π. Således kan æren for at have opdaget denne nøjagtige værdi af π tilskrives den berømte matematiker Aryabhata I.
Vi ser nu på den trigonometri, der er indeholdt i Aryabhatas afhandling. Han gav en tabel over sinus, hvor han beregnede de omtrentlige værdier med intervaller på 90°24\large\frac{90°}{24}\normalsize2490° = 3° 45′. For at gøre dette brugte han en formel for sin(n+1)x-sinnx\sin(n + 1)x – \sin nxsin(n+1)x-sinnx i form af sinnx\sin nxsinnx og sin(n-1)x\sin (n – 1)xsin(n-1)xsin(n-1)x. Han indførte også versin (versin = 1 – cosinus) i trigonometrien.
Andre regler givet af Aryabhata omfatter reglerne for summering af de første nnn hele tal, kvadraterne af disse hele tal og også deres terninger. Aryabhata giver formler for arealerne af en trekant og en cirkel, som er korrekte, men formlerne for rumfanget af en kugle og af en pyramide hævdes af de fleste historikere at være forkerte. F.eks. beskriver Ganitanand i som “matematiske fejl”, at Aryabhata giver den ukorrekte formel V=Ah/2V = Ah/2V=Ah/2 for rumfanget af en pyramide med højde h og trekantet grundflade AAA. Han synes også at give et forkert udtryk for rumfanget af en kugle. Men som det ofte er tilfældet, er intet så ligetil, som det ser ud, og Elfering (se f.eks. ) hævder, at der ikke er tale om en fejl, men snarere om resultatet af en forkert oversættelse.
Dette vedrører vers 6, 7 og 10 i Aryabhatiya Ⓣ’s andet afsnit, og i Elfering fremkommer en oversættelse, der giver det korrekte svar for både rumfanget af en pyramide og for en kugle. I sin oversættelse oversætter Elfering imidlertid to tekniske udtryk på en anden måde end den betydning, som de normalt har. Uden nogle understøttende beviser for, at disse tekniske udtryk er blevet brugt med disse forskellige betydninger andre steder, ser det stadig ud til, at Aryabhata faktisk gav de forkerte formler for disse volumener.
Vi har set på den matematik, der er indeholdt i Aryabhatiya Ⓣ, men det er en astronomitekst, så vi bør sige lidt om den astronomi, som den indeholder. Aryabhata giver en systematisk behandling af planeternes position i rummet. Han angav jordens omkreds som 4 967 yojanas og dens diameter som 15811241 581 581\large\frac{1}{24}\normalsize1581241 yojanas. Da 1 yojana = 5 miles giver dette en omkreds på 24 835 miles, hvilket er en fremragende tilnærmelse til den i dag accepterede værdi på 24 902 miles. Han mente, at himlens tilsyneladende rotation skyldtes jordens aksiale rotation. Dette er et ganske bemærkelsesværdigt syn på solsystemets natur, som senere kommentatorer ikke kunne få sig selv til at følge, og de fleste ændrede teksten for at redde Aryabhata fra det, de mente var dumme fejl!
Aryabhata angiver planeternes baneradius i forhold til radius af Jordens/Solens bane som i bund og grund deres rotationsperioder omkring Solen. Han mener, at Månen og planeterne skinner ved reflekteret sollys, utroligt nok mener han, at planeternes baner er ellipser. Han forklarer korrekt årsagerne til sol- og måneformørkelser. Den indiske tro indtil da var, at formørkelser blev forårsaget af en dæmon kaldet Rahu. Hans værdi for årets længde på 365 dage 6 timer 12 minutter 30 sekunder er en overvurdering, da den sande værdi er mindre end 365 dage 6 timer.