Biografie
Aryabhata staat ook bekend als Aryabhata I om hem te onderscheiden van de latere wiskundige met dezelfde naam die ongeveer 400 jaar later leefde. Al-Biruni heeft niet geholpen bij het begrijpen van Aryabhata’s leven, want hij scheen te geloven dat er twee verschillende wiskundigen met de naam Aryabhata in dezelfde tijd leefden. Hij schiep daarom een verwarring van twee verschillende Aryabhata’s die pas in 1926 werd opgehelderd toen B Datta aantoonde dat al-Biruni’s twee Aryabhata’s één en dezelfde persoon waren.
We kennen het geboortejaar van Aryabhata omdat hij ons vertelt dat hij drieëntwintig jaar oud was toen hij Aryabhatiya Ⓣ schreef dat hij in 499 voltooide. Wij hebben Kusumapura, waarvan men denkt dat het dicht bij Pataliputra ligt (dat in 1541 werd heropgericht als Patna in Bihar), opgegeven als de plaats van Aryabhata’s geboorte, maar dit is verre van zeker, net als de locatie van Kusumapura zelf. Zoals Parameswaran schrijft in :-
… er kan geen definitieve uitspraak worden gedaan over de locaties van Asmakajanapada en Kusumapura.
We weten dat Aryabhata Aryabhatiya Ⓣ schreef in Kusumapura in de tijd dat Pataliputra de hoofdstad was van het Gupta rijk en een belangrijk centrum van onderwijs, maar er zijn talrijke andere plaatsen door historici voorgesteld als zijn geboorteplaats. Sommigen vermoeden dat hij in Zuid-India werd geboren, misschien in Kerala, Tamil Nadu of Andhra Pradesh, terwijl anderen denken dat hij in het noordoosten van India werd geboren, misschien in Bengalen. Er wordt beweerd dat Aryabhata werd geboren in de Asmaka regio van de Vakataka dynastie in Zuid-India, hoewel de auteur aanvaardt dat hij het grootste deel van zijn leven woonde in Kusumapura in het Gupta rijk in het noorden. De vermelding van Asmaka als Aryabhata’s geboorteplaats berust echter op een opmerking van Nilakantha Somayaji aan het eind van de 15e eeuw. De meeste historici denken nu dat Nilakantha Aryabhata verwarde met Bhaskara I, die een latere commentator was op de Aryabhatiya Ⓣ.
We moeten opmerken dat Kusumapura een van de twee belangrijkste mathematische centra van India werd, het andere was Ujjain. Beide liggen in het noorden, maar Kusumapura (ervan uitgaande dat het dicht bij Pataliputra ligt) ligt aan de Ganges en is het noordelijker gelegen. Pataliputra, de hoofdstad van het Gupta-rijk ten tijde van Aryabhata, was het centrum van een communicatienetwerk dat het leren uit andere delen van de wereld gemakkelijk te bereiken, en ook toegestaan de wiskundige en astronomische vooruitgang die door Aryabhata en zijn school te bereiken in heel India en uiteindelijk ook in de islamitische wereld.
Wat betreft de teksten geschreven door Aryabhata slechts een heeft overleefd. Jha beweert echter in dat:-
… Aryabhata was een auteur van ten minste drie astronomische teksten en schreef ook een aantal vrije strofen.
De overgebleven tekst is Aryabhata’s meesterwerk de Aryabhatiya Ⓣ dat is een klein astronomisch traktaat geschreven in 118 verzen waarin een samenvatting wordt gegeven van de Hindoe-wiskunde tot dan toe. Het wiskundige gedeelte bevat 33 verzen waarin 66 wiskundige regels zonder bewijs worden gegeven. De Aryabhatiya Ⓣ bevat een inleiding van 10 verzen, gevolgd door een gedeelte over wiskunde met, zoals we zojuist vermeldden, 33 verzen, dan een gedeelte van 25 verzen over de afrekening van de tijd en planetaire modellen, en het laatste gedeelte van 50 verzen gaat over de bol en verduisteringen.
Er is een moeilijkheid met deze indeling die in detail wordt besproken door van der Waerden in . Van der Waerden suggereert dat de Inleiding van 10 verzen in feite later is geschreven dan de andere drie delen. Een reden om aan te nemen dat de twee delen niet als één geheel bedoeld waren, is dat de eerste sectie een andere maatsoort heeft dan de overige drie secties. De problemen houden hier echter niet op. We zeiden dat de eerste sectie tien verzen had en Aryabhata noemt de sectie inderdaad Set van tien giti strofen. Maar het bevat in feite elf giti stanza’s en twee arya stanza’s. Van der Waerden suggereert dat drie verzen zijn toegevoegd en hij identificeert een klein aantal verzen in de overige secties die volgens hem ook zijn toegevoegd door een lid van Aryabhata’s school in Kusumapura.
Het wiskundige deel van de Aryabhatiya Ⓣ omvat rekenen, algebra, vlakke goniometrie en sferische goniometrie. Het bevat ook voortgezette breuken, kwadratische vergelijkingen, sommen van machtreeksen en een tafel van sinussen. Laten we een aantal van deze zaken wat meer in detail bekijken.
Eerst kijken we naar het systeem voor de weergave van getallen dat Aryabhata heeft uitgevonden en gebruikt in de Aryabhatiya Ⓣ. Het bestaat uit het geven van numerieke waarden aan de 33 medeklinkers van het Indiase alfabet om voor te stellen 1, 2, 3, … , 25, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100. De hogere getallen worden aangeduid door deze medeklinkers gevolgd door een klinker om 100, 10000, …. te verkrijgen. In feite maakt het systeem het mogelijk getallen tot 101810^{18}1018 weer te geven met een alfabetische notatie. Ifrah in betoogt dat Aryabhata ook bekend was met telwoorden en het plaatswaarderingssysteem. Hij schrijft in :-
… het is uiterst waarschijnlijk dat Aryabhata het teken voor nul kende en de telwoorden van het plaatswaardesysteem. Deze veronderstelling is gebaseerd op de volgende twee feiten: ten eerste zou de uitvinding van zijn alfabetisch telsysteem onmogelijk zijn geweest zonder nul of het plaatswaardesysteem; ten tweede voert hij berekeningen uit op vierkantswortels en kubieke wortels die onmogelijk zijn als de getallen in kwestie niet worden geschreven volgens het plaatswaardesysteem en nul.
Daarna kijken we kort naar enkele algebra’s in de Aryabhatiya Ⓣ. Dit werk is het eerste dat ons bekend is en waarin gehele oplossingen worden onderzocht van vergelijkingen van de vorm by=ax+cby = ax + cby=ax+c en by=ax-cby = ax – cby=ax-c, waarbij a,b,ca, b, ca,b,c gehele getallen zijn. Het probleem is ontstaan door het bestuderen van het probleem in de astronomie om de perioden van de planeten te bepalen. Aryabhata gebruikt de kuttaka methode om dit soort problemen op te lossen. Het woord kuttaka betekent “verpulveren” en de methode bestond erin het probleem op te splitsen in nieuwe problemen waarbij de coëfficiënten bij elke stap kleiner en kleiner werden. De methode hier is in wezen het gebruik van het algoritme van Euclides om de hoogste gemeenschappelijke factor van aaa en bbb te vinden, maar is ook verwant aan voortgezette breuken.
Aryabhata gaf een nauwkeurige benadering voor π. Hij schreef in de Aryabhatiya Ⓣ het volgende:-
Tel vier bij honderd op, vermenigvuldig met acht en tel er dan tweeënzestigduizend bij op. het resultaat is ongeveer de omtrek van een cirkel met een diameter van twintigduizend. Door deze regel is de verhouding van de omtrek tot de diameter gegeven.
Dit geeft π=6283220000=3,1416:pi = \groot=62832}{20000}normaal= 3,1416π=2000062832=3,1416 wat een verrassend nauwkeurige waarde is. In feite is π = 3,14159265 op 8 plaatsen nauwkeurig. Als het verkrijgen van zo’n nauwkeurige waarde al verrassend is, dan is het misschien nog verrassender dat Aryabhata zijn nauwkeurige waarde voor π niet gebruikt maar in de praktijk de voorkeur geeft aan √10 = 3,1622. Aryabhata legt niet uit hoe hij deze nauwkeurige waarde heeft gevonden, maar bijvoorbeeld Ahmad beschouwt deze waarde als een benadering van de halve omtrek van een regelmatige veelhoek van 256 zijden, ingeschreven in de eenheidscirkel. Bruins toont echter aan dat dit resultaat niet kan worden verkregen uit de verdubbeling van het aantal zijden. Een ander interessant artikel over deze nauwkeurige waarde van π door Aryabhata is waar Jha schrijft:-
Aryabhata I’s waarde van π is een zeer dichte benadering van de moderne waarde en de meest nauwkeurige onder die van de ouden. Er zijn redenen om aan te nemen dat Aryabhata een bepaalde methode heeft bedacht om deze waarde te vinden. Het is voldoende bewezen dat Aryabhata deze methode zelf gebruikte, en dat verschillende latere Indiase wiskundigen en zelfs de Arabieren deze methode overnamen. De veronderstelling dat Aryabhata’s waarde van π van Griekse oorsprong is, wordt kritisch onderzocht en ongegrond bevonden. Aryabhata ontdekte deze waarde onafhankelijk en besefte ook dat π een irrationeel getal is. Hij had ongetwijfeld een Indiase achtergrond, maar overtrof al zijn voorgangers in het evalueren van π. De eer van het ontdekken van deze exacte waarde van π kan dus worden toegeschreven aan de gevierde wiskundige, Aryabhata I.
We kijken nu naar de trigonometrie in Aryabhata’s verhandeling. Hij gaf een tabel van sinussen, waarbij hij de waarden bij benadering berekende op intervallen van 90°24 Hiervoor gebruikte hij een formule voor sin(n+1)x-sinnx(n+1)x – sin(n+1)x-sinnx in termen van sinnx(n+1)xsinnx en sin(n-1)x(n – 1)xsin(n-1)xsin(n-1)x. Hij introduceerde ook de versinus (versin = 1 – cosinus) in de goniometrie.
Andere regels die Aryabhata gaf zijn onder andere die voor de som van de eerste nnn gehele getallen, de kwadraten van deze gehele getallen en ook hun kubussen. Aryabhata geeft formules voor de oppervlakte van een driehoek en van een cirkel die correct zijn, maar de formules voor de volumes van een bol en van een piramide worden door de meeste historici als onjuist beschouwd. Zo beschrijft Ganitanand in “wiskundige fouten” het feit dat Aryabhata de onjuiste formule V=Ah/2V = Ah/2V=Ah/2 geeft voor het volume van een piramide met hoogte h en driehoekig grondvlak van oppervlakte AAA. Hij lijkt ook een onjuiste uitdrukking te geven voor het volume van een bol. Maar zoals zo vaak is niets zo eenvoudig als het lijkt en Elfering (zie bijvoorbeeld ) betoogt dat dit geen fout is maar eerder het resultaat van een onjuiste vertaling.
Het gaat hier om de verzen 6, 7, en 10 van het tweede deel van de Aryabhatiya Ⓣ en in Elfering komt men tot een vertaling die zowel voor het volume van een piramide als voor een bol het juiste antwoord geeft. In zijn vertaling vertaalt Elfering echter twee technische termen op een andere manier dan de betekenis die zij gewoonlijk hebben. Zonder ondersteunend bewijs dat deze technische termen op andere plaatsen met deze verschillende betekenissen zijn gebruikt, lijkt het er toch op dat Aryabhata inderdaad de onjuiste formules voor deze volumes heeft gegeven.
We hebben gekeken naar de wiskunde in de Aryabhatiya Ⓣ maar dit is een astronomische tekst dus moeten we iets zeggen over de astronomie die erin staat. Aryabhata geeft een systematische behandeling van de positie van de planeten in de ruimte. Hij geeft de omtrek van de aarde op 4.967 yojana’s en haar diameter op 15811241 581 yojana’s. Aangezien 1 yojana = 5 mijl geeft dit een omtrek van 24.835 mijl, hetgeen een uitstekende benadering is van de thans aanvaarde waarde van 24.902 mijl. Hij geloofde dat de schijnbare draaiing van de hemel het gevolg was van de axiale draaiing van de aarde. Dit is een heel opmerkelijke opvatting over de aard van het zonnestelsel, die latere commentatoren niet konden volgen en de meeste veranderden de tekst om Aryabhata te behoeden voor wat zij stomme fouten vonden!
Aryabhata geeft de straal van de planeetbanen in termen van de straal van de baan van de Aarde en de Zon als in wezen hun perioden van rotatie rond de Zon. Hij gelooft dat de Maan en de planeten schijnen door weerkaatst zonlicht, ongelooflijk dat hij gelooft dat de banen van de planeten ellipsen zijn. Hij verklaart correct de oorzaken van verduisteringen van de Zon en de Maan. Tot dan toe geloofde men in India dat verduisteringen werden veroorzaakt door een demon genaamd Rahu. Zijn waarde voor de lengte van het jaar van 365 dagen 6 uur 12 minuten 30 seconden is een overschatting, aangezien de werkelijke waarde minder dan 365 dagen 6 uur bedraagt.