Biographie
Aryabhata est également connu sous le nom d’Aryabhata I pour le distinguer du mathématicien ultérieur du même nom qui a vécu environ 400 ans plus tard. Al-Biruni n’a pas aidé à comprendre la vie d’Aryabhata, car il semblait croire que deux mathématiciens différents appelés Aryabhata vivaient à la même époque. Il a donc créé une confusion de deux Aryabhatas différents qui n’a été clarifiée qu’en 1926 lorsque B Datta a montré que les deux Aryabhatas d’al-Biruni étaient une seule et même personne.
Nous connaissons l’année de naissance d’Aryabhata puisqu’il nous dit qu’il avait vingt-trois ans lorsqu’il a écrit Aryabhatiya Ⓣ qu’il a terminé en 499. Nous avons donné Kusumapura, que l’on pense être proche de Pataliputra (qui a été refondé sous le nom de Patna dans le Bihar en 1541), comme lieu de naissance d’Aryabhata mais cela est loin d’être certain, comme l’est même l’emplacement de Kusumapura lui-même. Comme l’écrit Parameswaran dans :-
… aucun verdict définitif ne peut être donné concernant les emplacements d’Asmakajanapada et de Kusumapura.
Nous savons qu’Aryabhata a écrit Aryabhatiya Ⓣ à Kusumapura à l’époque où Pataliputra était la capitale de l’empire Gupta et un important centre d’apprentissage, mais de nombreux autres lieux ont été proposés par les historiens comme son lieu de naissance. Certains pensent qu’il est né dans le sud de l’Inde, peut-être au Kerala, au Tamil Nadu ou dans l’Andhra Pradesh, tandis que d’autres pensent qu’il est né dans le nord-est de l’Inde, peut-être au Bengale. On prétend qu’Aryabhata est né dans la région d’Asmaka de la dynastie des Vakataka dans le sud de l’Inde, bien que l’auteur ait accepté qu’il ait vécu la majeure partie de sa vie à Kusumapura dans l’empire Gupta du nord. Cependant, donner Asmaka comme lieu de naissance d’Aryabhata repose sur un commentaire fait par Nilakantha Somayaji à la fin du 15ème siècle. La plupart des historiens pensent aujourd’hui que Nilakantha a confondu Aryabhata avec Bhaskara I qui était un commentateur ultérieur de l’Aryabhatiya Ⓣ.
Nous devons noter que Kusumapura est devenu l’un des deux grands centres mathématiques de l’Inde, l’autre étant Ujjain. Tous deux sont situés dans le nord, mais Kusumapura (en supposant qu’elle soit proche de Pataliputra) se trouve sur le Gange et est la plus septentrionale. Pataliputra, étant la capitale de l’empire Gupta à l’époque d’Aryabhata, était le centre d’un réseau de communication qui permettait à l’apprentissage d’autres parties du monde de l’atteindre facilement, et a également permis aux avancées mathématiques et astronomiques faites par Aryabhata et son école d’atteindre à travers l’Inde et aussi finalement dans le monde islamique.
En ce qui concerne les textes écrits par Aryabhata, un seul a survécu. Cependant, Jha affirme que :-
… Aryabhata était un auteur d’au moins trois textes astronomiques et a également écrit quelques stances libres.
Le texte survivant est le chef-d’œuvre d’Aryabhata l’Aryabhatiya Ⓣ qui est un petit traité astronomique écrit en 118 vers donnant un résumé des mathématiques hindoues jusqu’à cette époque. Sa section mathématique contient 33 versets donnant 66 règles mathématiques sans preuve. L’Aryabhatiya Ⓣ contient une introduction de 10 versets, suivie d’une section sur les mathématiques avec, comme nous venons de le mentionner, 33 versets, puis une section de 25 versets sur la computation du temps et les modèles planétaires, la dernière section de 50 versets portant sur la sphère et les éclipses.
Cette disposition présente une difficulté qui est discutée en détail par van der Waerden dans . Van der Waerden suggère qu’en fait l’introduction de 10 versets a été écrite plus tard que les trois autres sections. Une raison de croire que les deux parties n’ont pas été conçues comme un tout est que la première section a une métrique différente de celle des trois autres sections. Cependant, les problèmes ne s’arrêtent pas là. Nous avons dit que la première section comportait dix vers et, en effet, Aryabhata intitule la section Set of ten giti stanzas. Mais elle contient en fait onze giti stanzas et deux arya stanzas. Van der Waerden suggère que trois vers ont été ajoutés et il identifie un petit nombre de vers dans les sections restantes qui, selon lui, ont également été ajoutés par un membre de l’école d’Aryabhata à Kusumapura.
La partie mathématique de l’Aryabhatiya Ⓣ couvre l’arithmétique, l’algèbre, la trigonométrie plane et la trigonométrie sphérique. Elle contient également des fractions continues, des équations quadratiques, des sommes de séries puissantes et une table des sinus. Examinons certains d’entre eux un peu plus en détail.
D’abord, nous examinons le système de représentation des nombres qu’Aryabhata a inventé et utilisé dans l’Aryabhatiya Ⓣ. Il consiste à donner des valeurs numériques aux 33 consonnes de l’alphabet indien pour représenter 1, 2, 3, …. , 25, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100. Les nombres plus élevés sont désignés par ces consonnes suivies d’une voyelle pour obtenir 100, 10000, ….. En fait, le système permet de représenter les nombres jusqu’à 101810^{18}1018 avec une notation alphabétique. Ifrah dans soutient qu’Aryabhata était également familier avec les symboles numéraux et le système des valeurs de place. Il écrit dans :-
… il est extrêmement probable qu’Aryabhata connaissait le signe du zéro et les chiffres du système de valeur de place. Cette supposition repose sur les deux faits suivants : premièrement, l’invention de son système de comptage alphabétique aurait été impossible sans le zéro ou le système des valeurs de lieu ; deuxièmement, il effectue des calculs sur les racines carrées et cubiques qui sont impossibles si les nombres en question ne sont pas écrits selon le système des valeurs de lieu et le zéro.
Puis, nous examinons brièvement certaines algèbres contenues dans l’Aryabhatiya Ⓣ. Ce travail est le premier, à notre connaissance, qui examine les solutions entières aux équations de la forme by=ax+cby = ax + cby=ax+c et by=ax-cby = ax – cby=ax-c, où a,b,ca, b, ca,b,c sont des entiers. Le problème est né de l’étude du problème en astronomie de la détermination des périodes des planètes. Aryabhata utilise la méthode kuttaka pour résoudre des problèmes de ce type. Le mot kuttaka signifie « pulvériser » et la méthode consistait à décomposer le problème en de nouveaux problèmes où les coefficients devenaient de plus en plus petits à chaque étape. La méthode ici est essentiellement l’utilisation de l’algorithme euclidien pour trouver le plus grand facteur commun de aaa et bbb, mais elle est également liée aux fractions continues.
Aryabhata a donné une approximation précise pour π. Il a écrit dans l’Aryabhatiya Ⓣ ce qui suit:-
Ajouter quatre à cent, multiplier par huit et ensuite ajouter soixante-deux mille. le résultat est approximativement la circonférence d’un cercle de diamètre vingt mille. Par cette règle, la relation de la circonférence au diamètre est donnée.
Cela donne π=6283220000=3,1416\pi = \large\frac{62832}{20000}\normalsize = 3,1416π=2000062832=3,1416 ce qui est une valeur étonnamment précise. En effet, π = 3,14159265 est correct à 8 chiffres près. Si l’obtention d’une valeur aussi précise est surprenante, il est peut-être encore plus surprenant qu’Aryabhata n’utilise pas sa valeur précise pour π mais préfère utiliser √10 = 3,1622 dans la pratique. Aryabhata n’explique pas comment il a trouvé cette valeur précise mais, par exemple, Ahmad considère cette valeur comme une approximation de la moitié du périmètre d’un polygone régulier de 256 côtés inscrit dans le cercle unité. Cependant, in Bruins montre que ce résultat ne peut être obtenu à partir du doublement du nombre de côtés. Un autre article intéressant discutant de cette valeur précise de π par Aryabhata est celui où Jha écrit:-
La valeur de π d’Aryabhata I est une approximation très proche de la valeur moderne et la plus précise parmi celles des anciens. Il y a des raisons de croire qu’Aryabhata a conçu une méthode particulière pour trouver cette valeur. Il est démontré avec suffisamment de preuves qu’Aryabhata lui-même l’a utilisée, et que plusieurs mathématiciens indiens ultérieurs et même les Arabes l’ont adoptée. La conjecture selon laquelle la valeur de π d’Aryabhata serait d’origine grecque est examinée de manière critique et s’avère sans fondement. Aryabhata a découvert cette valeur de manière indépendante et s’est également rendu compte que π est un nombre irrationnel. Il avait l’origine indienne, sans aucun doute, mais il a dépassé tous ses prédécesseurs dans l’évaluation de π. Ainsi, le crédit de la découverte de cette valeur exacte de π peut être attribué au célèbre mathématicien, Aryabhata I.
Nous examinons maintenant la trigonométrie contenue dans le traité d’Aryabhata. Il a donné une table des sinus calculant les valeurs approximatives à des intervalles de 90°24\large\frac{90°}{24}\normalsize2490° = 3° 45′. Pour ce faire, il a utilisé une formule pour sin(n+1)x-sinnx\sin(n + 1)x – \sin nxsin(n+1)x-sinnx en termes de sinnx\sin nxsinnx et sin(n-1)x\sin (n – 1)xsin(n-1)x. Il a également introduit le versin (versin = 1 – cosinus) dans la trigonométrie.
D’autres règles données par Aryabhata incluent celle de la somme des nnn premiers entiers, des carrés de ces entiers et aussi de leurs cubes. Aryabhata donne des formules pour les aires d’un triangle et d’un cercle qui sont correctes, mais les formules pour les volumes d’une sphère et d’une pyramide sont déclarées fausses par la plupart des historiens. Par exemple, Ganitanand qualifie de « lapsus mathématique » le fait qu’Aryabhata donne la formule incorrecte V=Ah/2V = Ah/2V=Ah/2 pour le volume d’une pyramide de hauteur h et de base triangulaire d’aire AAA. Il semble également donner une expression incorrecte pour le volume d’une sphère. Cependant, comme c’est souvent le cas, rien n’est aussi simple qu’il n’y paraît et Elfering (voir par exemple ) soutient qu’il ne s’agit pas d’une erreur mais plutôt du résultat d’une traduction incorrecte.
Cela concerne les versets 6, 7 et 10 de la deuxième section de l’Aryabhatiya Ⓣ et en Elfering produit une traduction qui donne la réponse correcte à la fois pour le volume d’une pyramide et pour une sphère. Cependant, dans sa traduction, Elfering traduit deux termes techniques d’une manière différente de la signification qu’ils ont habituellement. Sans quelques preuves à l’appui que ces termes techniques ont été utilisés avec ces significations différentes dans d’autres endroits, il semblerait toujours qu’Aryabhata a effectivement donné les formules incorrectes pour ces volumes.
Nous avons examiné les mathématiques contenues dans l’Aryabhatiya Ⓣ mais il s’agit d’un texte d’astronomie, donc nous devrions dire un peu concernant l’astronomie qu’il contient. Aryabhata donne un traitement systématique de la position des planètes dans l’espace. Il donne la circonférence de la terre comme 4 967 yojanas et son diamètre comme 15811241 581\large\frac{1}{24}\normalsize1581241 yojanas. Comme 1 yojana = 5 miles, cela donne une circonférence de 24 835 miles, ce qui est une excellente approximation de la valeur actuellement acceptée de 24 902 miles. Il pensait que la rotation apparente des cieux était due à la rotation axiale de la Terre. C’est une vision tout à fait remarquable de la nature du système solaire que les commentateurs ultérieurs n’ont pu se résoudre à suivre et la plupart ont modifié le texte pour sauver Aryabhata de ce qu’ils pensaient être des erreurs stupides !
Aryabhata donne le rayon des orbites planétaires en termes de rayon de l’orbite Terre/Soleil comme essentiellement leurs périodes de rotation autour du Soleil. Il croit que la Lune et les planètes brillent par la lumière solaire réfléchie, incroyablement il croit que les orbites des planètes sont des ellipses. Il explique correctement les causes des éclipses de Soleil et de Lune. La croyance indienne jusqu’à cette époque était que les éclipses étaient causées par un démon appelé Rahu. Sa valeur pour la durée de l’année de 365 jours 6 heures 12 minutes 30 secondes est une surestimation puisque la vraie valeur est inférieure à 365 jours 6 heures.