Biografie
Aryabhata este cunoscut și sub numele de Aryabhata I pentru a-l deosebi de matematicianul de mai târziu cu același nume, care a trăit aproximativ 400 de ani mai târziu. Al-Biruni nu a ajutat la înțelegerea vieții lui Aryabhata, deoarece el părea să creadă că au existat doi matematicieni diferiți numiți Aryabhata care au trăit în același timp. Prin urmare, el a creat o confuzie între doi Aryabhatas diferiți, care nu a fost clarificată până în 1926, când B Datta a arătat că cei doi Aryabhatas ai lui al-Biruni erau una și aceeași persoană.
Cunoaștem anul nașterii lui Aryabhata, deoarece el ne spune că avea douăzeci și trei de ani când a scris Aryabhatiya Ⓣ pe care a terminat-o în 499. Am dat Kusumapura, despre care se crede că se află în apropiere de Pataliputra (care a fost refondată ca Patna în Bihar în 1541), ca fiind locul nașterii lui Aryabhata, dar acest lucru este departe de a fi sigur, la fel ca și localizarea lui Kusumapura însăși. După cum scrie Parameswaran în :-
… nu se poate da un verdict final cu privire la locațiile lui Asmakajanapada și Kusumapura.
Știm că Aryabhata a scris Aryabhatiya Ⓣ în Kusumapura, în perioada în care Pataliputra era capitala imperiului Gupta și un important centru de învățătură, dar au existat numeroase alte locuri propuse de istorici ca fiind locul său de naștere. Unii presupun că s-a născut în sudul Indiei, poate în Kerala, Tamil Nadu sau Andhra Pradesh, în timp ce alții presupun că s-a născut în nord-estul Indiei, poate în Bengal. În se susține că Aryabhata s-ar fi născut în regiunea Asmaka a dinastiei Vakataka din sudul Indiei, deși autorul a acceptat că a trăit cea mai mare parte a vieții sale în Kusumapura, în imperiul Gupta din nord. Cu toate acestea, atribuirea Asmaka ca loc de naștere al lui Aryabhata se bazează pe un comentariu făcut de Nilakantha Somayaji la sfârșitul secolului al XV-lea. În prezent, majoritatea istoricilor consideră că Nilakantha l-a confundat pe Aryabhata cu Bhaskara I, care a fost un comentator ulterior al Aryabhatiya Ⓣ.
Ar trebui să observăm că Kusumapura a devenit unul dintre cele două centre matematice majore din India, celălalt fiind Ujjain. Ambele se află în nord, dar Kusumapura (presupunând că este aproape de Pataliputra) se află pe Gange și este cel mai nordic. Pataliputra, fiind capitala imperiului Gupta pe vremea lui Aryabhata, era centrul unei rețele de comunicații care permitea ca învățătura din alte părți ale lumii să ajungă cu ușurință și, de asemenea, a permis ca progresele matematice și astronomice realizate de Aryabhata și de școala sa să ajungă în întreaga Indie și, în cele din urmă, și în lumea islamică.
În ceea ce privește textele scrise de Aryabhata, doar unul singur a supraviețuit. Cu toate acestea, Jha susține în acest sens:-
… Aryabhata a fost autorul a cel puțin trei texte astronomice și a scris și câteva strofe libere.
Textul care a supraviețuit este capodopera lui Aryabhata, Aryabhatiya Ⓣ, care este un mic tratat astronomic scris în 118 versuri care oferă un rezumat al matematicii hinduse de până la acea vreme. Secțiunea sa matematică conține 33 de versete care oferă 66 de reguli matematice fără dovezi. Aryabhatiya Ⓣ conține o introducere de 10 versete, urmată de o secțiune de matematică cu, așa cum tocmai am menționat, 33 de versete, apoi o secțiune de 25 de versete despre calculul timpului și modelele planetare, iar ultima secțiune de 50 de versete este despre sferă și eclipse.
Există o dificultate cu această prezentare care este discutată în detaliu de van der Waerden în . Van der Waerden sugerează că, de fapt, introducerea de 10 versete a fost scrisă mai târziu decât celelalte trei secțiuni. Un motiv pentru a crede că cele două părți nu au fost concepute ca un întreg este faptul că prima secțiune are o metrică diferită față de celelalte trei secțiuni. Totuși, problemele nu se opresc aici. Am spus că prima secțiune avea zece versuri și, într-adevăr, Aryabhata titrează secțiunea Set de zece strofe giti. Dar, de fapt, ea conține unsprezece giti stanzas și două arya stanzas. Van der Waerden sugerează că au fost adăugate trei versuri și identifică un număr mic de versuri în celelalte secțiuni despre care susține că au fost, de asemenea, adăugate de un membru al școlii lui Aryabhata de la Kusumapura.
Partea matematică a Aryabhatiya Ⓣ acoperă aritmetica, algebra, trigonometria plană și trigonometria sferică. De asemenea, conține fracții continue, ecuații pătratice, sume de serii de puteri și un tabel al sinusurilor. Să examinăm unele dintre acestea puțin mai detaliat.
În primul rând ne uităm la sistemul de reprezentare a numerelor pe care Aryabhata l-a inventat și l-a folosit în Aryabhatiya Ⓣ. Acesta constă în atribuirea de valori numerice celor 33 de consoane ale alfabetului indian pentru a reprezenta 1, 2, 3, … , 25, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100. Numerele mai mari sunt reprezentate de aceste consoane urmate de o vocală pentru a obține 100, 10000, …. De fapt, sistemul permite ca numerele până la 101810^{18}1018 să fie reprezentate cu o notație alfabetică. Ifrah în argumentează că Aryabhata era, de asemenea, familiarizat cu simbolurile numerale și cu sistemul de valori de loc. El scrie în :-
… este extrem de probabil ca Aryabhata să cunoască semnul pentru zero și cifrele din sistemul de valorare a locurilor. Această presupunere se bazează pe următoarele două fapte: în primul rând, inventarea sistemului său alfabetic de numărare ar fi fost imposibilă fără zero sau fără sistemul loc-valoare; în al doilea rând, el efectuează calcule asupra rădăcinilor pătrate și cubice care sunt imposibile dacă numerele în cauză nu sunt scrise în conformitate cu sistemul loc-valoare și cu zero.
În continuare, vom examina pe scurt unele algebre conținute în Aryabhatiya Ⓣ. Această lucrare este prima de care avem cunoștință care examinează soluțiile întregi ale ecuațiilor de forma by=ax+cby = ax + cby=ax+c și by=ax-cby = ax – cby=ax-c, unde a,b,ca, b, b, ca,b,c sunt numere întregi. Problema a apărut în urma studierii problemei din astronomie de determinare a perioadelor planetelor. Aryabhata folosește metoda kuttaka pentru a rezolva probleme de acest tip. Cuvântul kuttaka înseamnă „a pulveriza”, iar metoda consta în descompunerea problemei în noi probleme în care coeficienții deveneau din ce în ce mai mici cu fiecare pas. Metoda de aici este, în esență, utilizarea algoritmului euclidian pentru a găsi cel mai mare factor comun al lui aaa și bbb, dar are legătură și cu fracțiile continue.
Aryabhata a dat o aproximare precisă pentru π. El a scris în Aryabhatiya Ⓣ următoarele: –
Adaugați patru la o sută, înmulțițiți cu opt și apoi adăugați șaizeci și două de mii. rezultatul este aproximativ circumferința unui cerc cu diametrul de douăzeci de mii. Prin această regulă este dată relația dintre circumferință și diametru.
Aceasta dă π=6283220000=3,1416\pi = \large\frac{62832}{20000}\normalsize = 3,1416π=2000062832=3,1416 care este o valoare surprinzător de precisă. De fapt, π = 3.14159265 este corectă până la 8 locuri. Dacă obținerea unei valori atât de exacte este surprinzătoare, este poate și mai surprinzător faptul că Aryabhata nu folosește valoarea sa exactă pentru π, ci preferă să folosească √10 = 3,1622 în practică. Aryabhata nu explică modul în care a găsit această valoare precisă, dar, de exemplu, Ahmad consideră această valoare ca fiind o aproximare a jumătate din perimetrul unui poligon regulat de 256 de laturi înscris în cercul unitar. Cu toate acestea, în Bruins arată că acest rezultat nu poate fi obținut din dublarea numărului de laturi. O altă lucrare interesantă în care se discută această valoare precisă a lui π de către Aryabhata este cea în care Jha scrie: –
Valoarea lui Aryabhata I pentru π este o aproximare foarte apropiată de valoarea modernă și cea mai precisă dintre cele ale anticilor. Există motive să credem că Aryabhata a conceput o metodă particulară pentru a găsi această valoare. Se demonstrează cu argumente suficiente că Aryabhata însuși a folosit-o, iar mai mulți matematicieni indieni de mai târziu și chiar și arabii au adoptat-o. Conjectura conform căreia valoarea lui Aryabhata pentru π ar fi de origine grecească este examinată critic și se dovedește a fi nefondată. Aryabhata a descoperit această valoare în mod independent și și-a dat seama, de asemenea, că π este un număr irațional. El a avut, fără îndoială, un trecut indian, dar i-a întrecut pe toți predecesorii săi în evaluarea lui π. Astfel, meritul descoperirii acestei valori exacte a lui π poate fi atribuit celebrului matematician, Aryabhata I.
Acum ne vom uita la trigonometria conținută în tratatul lui Aryabhata. El a dat un tabel al sinusurilor calculând valorile aproximative la intervale de 90°24\large\frac{90°}{24}\normalsize2490° = 3° 45′. Pentru a face acest lucru, el a folosit o formulă pentru sin(n+1)x-sinnx\sin(n + 1)x – \sin nxsin(n+1)x-sinnx în termeni de sinnx\sin nxsinnx și sin(n-1)x\sin (n – 1)xsin(n-1)xsin(n-1)x. El a introdus, de asemenea, versinul (versin = 1 – cosinus) în trigonometrie.
Alte reguli date de Aryabhata includ cea pentru însumarea primelor nnn numere întregi, a pătratelor acestor numere întregi și, de asemenea, a cuburilor lor. Aryabhata dă formule pentru ariile unui triunghi și ale unui cerc care sunt corecte, dar formulele pentru volumele unei sfere și ale unei piramide sunt considerate greșite de majoritatea istoricilor. De exemplu, Ganitanand în descrie drept „scăpări matematice” faptul că Aryabhata dă formula incorectă V=Ah/2V = Ah/2V=Ah/2 pentru volumul unei piramide cu înălțimea h și baza triunghiulară de arie AAA. De asemenea, se pare că dă o expresie incorectă pentru volumul unei sfere. Cu toate acestea, așa cum se întâmplă adesea, nimic nu este atât de simplu pe cât pare, iar Elfering (a se vedea de exemplu ) susține că nu este vorba de o eroare, ci mai degrabă de rezultatul unei traduceri incorecte.
Acest lucru se referă la versetele 6, 7 și 10 din a doua secțiune a Aryabhatiya Ⓣ și în Elfering produce o traducere care dă răspunsul corect atât pentru volumul unei piramide, cât și pentru cel al unei sfere. Cu toate acestea, în traducerea sa, Elfering traduce doi termeni tehnici într-un mod diferit față de sensul pe care îl au de obicei. În lipsa unor dovezi care să susțină că acești termeni tehnici au fost folosiți cu aceste sensuri diferite în alte locuri, s-ar părea în continuare că Aryabhatiya a dat într-adevăr formulele incorecte pentru aceste volume.
Am analizat matematica conținută în Aryabhatiya Ⓣ, dar acesta este un text de astronomie, așa că ar trebui să spunem câte ceva despre astronomia pe care o conține. Aryabhata oferă o tratare sistematică a poziției planetelor în spațiu. El a dat circumferința Pământului ca fiind de 4 967 yojanas și diametrul său de 15811241 581\large\frac{1}{24}\normalsize1581241 yojanas. Având în vedere că 1 yojana = 5 mile, rezultă o circumferință de 24 835 mile, ceea ce reprezintă o aproximare excelentă a valorii acceptate în prezent de 24 902 mile. El credea că rotația aparentă a cerurilor se datorează rotației axiale a Pământului. Aceasta este o viziune destul de remarcabilă asupra naturii sistemului solar, pe care comentatorii de mai târziu nu s-au putut convinge să o urmeze și cei mai mulți au modificat textul pentru a-l salva pe Aryabhata de ceea ce ei considerau a fi erori stupide!
Aryabhata dă raza orbitelor planetare în termeni de rază a orbitei Pământ/Soare ca fiind, în esență, perioadele lor de rotație în jurul Soarelui. El crede că Luna și planetele strălucesc prin lumina reflectată a Soarelui, în mod incredibil el crede că orbitele planetelor sunt elipse. El explică corect cauzele eclipselor de Soare și de Lună. Credința indiană de până atunci era că eclipsele erau provocate de un demon numit Rahu. Valoarea sa pentru durata anului, de 365 de zile, 6 ore, 12 minute și 30 de secunde, este o supraestimare, deoarece valoarea reală este mai mică de 365 de zile și 6 ore.
.