Biographie
Aryabhata ist auch als Aryabhata I bekannt, um ihn von dem späteren Mathematiker gleichen Namens zu unterscheiden, der etwa 400 Jahre später lebte. Al-Biruni hat nicht dazu beigetragen, das Leben von Aryabhata zu verstehen, denn er schien zu glauben, dass es zwei verschiedene Mathematiker namens Aryabhata gab, die zur gleichen Zeit lebten. Er schuf daher eine Verwirrung von zwei verschiedenen Aryabhatas, die erst 1926 geklärt wurde, als B. Datta zeigte, dass die beiden Aryabhatas von al-Biruni ein und dieselbe Person waren.
Wir kennen das Geburtsjahr von Aryabhata, da er uns sagt, dass er dreiundzwanzig Jahre alt war, als er die Aryabhatiya Ⓣ schrieb, die er im Jahr 499 fertigstellte. Wir haben Kusumapura, von dem man annimmt, dass es in der Nähe von Pataliputra liegt (das 1541 als Patna in Bihar neu gegründet wurde), als Geburtsort von Aryabhata angegeben, aber das ist alles andere als sicher, ebenso wie die Lage von Kusumapura selbst. Wie Parameswaran schreibt:
… kann kein endgültiges Urteil über die Orte Asmakajanapada und Kusumapura gefällt werden.
Wir wissen, dass Aryabhata das Aryabhatiya Ⓣ in Kusumapura schrieb, zu der Zeit, als Pataliputra die Hauptstadt des Gupta-Reiches und ein bedeutendes Zentrum der Gelehrsamkeit war, aber es wurden zahlreiche andere Orte von Historikern als sein Geburtsort vorgeschlagen. Einige vermuten, dass er in Südindien geboren wurde, vielleicht in Kerala, Tamil Nadu oder Andhra Pradesh, während andere vermuten, dass er im Nordosten Indiens geboren wurde, vielleicht in Bengalen. Es wird behauptet, dass Aryabhata in der Region Asmaka der Vakataka-Dynastie in Südindien geboren wurde, obwohl der Autor akzeptiert, dass er die meiste Zeit seines Lebens in Kusumapura im Gupta-Reich im Norden lebte. Die Angabe von Asmaka als Geburtsort von Aryabhata beruht jedoch auf einer Bemerkung von Nilakantha Somayaji aus dem späten 15. Die meisten Historiker gehen heute davon aus, dass Nilakantha Aryabhata mit Bhaskara I. verwechselte, der ein späterer Kommentator des Aryabhatiya Ⓣ war.
Wir sollten beachten, dass Kusumapura eines der beiden großen mathematischen Zentren Indiens wurde, das andere ist Ujjain. Beide liegen im Norden, aber Kusumapura (wenn man davon ausgeht, dass es in der Nähe von Pataliputra liegt) liegt am Ganges und ist das nördlichere. Pataliputra, die Hauptstadt des Gupta-Reiches zur Zeit von Aryabhata, war das Zentrum eines Kommunikationsnetzes, das es ermöglichte, dass Wissen aus anderen Teilen der Welt leicht dorthin gelangte und dass die mathematischen und astronomischen Fortschritte, die Aryabhata und seine Schule machten, ganz Indien und schließlich auch die islamische Welt erreichten.
Von den Texten, die Aryabhata schrieb, ist nur einer erhalten geblieben. Allerdings behauptet Jha darin:-
… Aryabhata war Autor von mindestens drei astronomischen Texten und schrieb auch einige freie Strophen.
Der überlebende Text ist Aryabhatas Meisterwerk, das Aryabhatiya Ⓣ, eine kleine astronomische Abhandlung in 118 Versen, die eine Zusammenfassung der hinduistischen Mathematik bis zu dieser Zeit enthält. Der mathematische Teil enthält 33 Verse mit 66 mathematischen Regeln ohne Beweis. Das Aryabhatiya Ⓣ enthält eine Einleitung von 10 Versen, gefolgt von einem Abschnitt über Mathematik mit, wie bereits erwähnt, 33 Versen, dann einen Abschnitt von 25 Versen über die Zeitrechnung und die Planetenmodelle, wobei der letzte Abschnitt von 50 Versen die Sphäre und die Finsternisse behandelt.
Es gibt eine Schwierigkeit bei dieser Aufteilung, die von van der Waerden in ausführlich diskutiert wird. Van der Waerden vermutet, dass die Einleitung mit 10 Versen später geschrieben wurde als die anderen drei Abschnitte. Ein Grund für die Annahme, dass die beiden Teile nicht als Ganzes gedacht waren, ist, dass der erste Abschnitt ein anderes Metrum hat als die übrigen drei Abschnitte. Doch die Probleme hören damit nicht auf. Wir sagten, dass der erste Abschnitt zehn Strophen hat, und in der Tat betitelt Aryabhata den Abschnitt mit zehn giti-Strophen. Tatsächlich enthält er aber elf giti stanzas und zwei arya stanzas. Van der Waerden schlägt vor, dass drei Strophen hinzugefügt wurden, und er identifiziert eine kleine Anzahl von Strophen in den verbleibenden Abschnitten, die seiner Meinung nach ebenfalls von einem Mitglied von Aryabhatas Schule in Kusumapura hinzugefügt wurden.
Der mathematische Teil des Aryabhatiya Ⓣ umfasst Arithmetik, Algebra, ebene Trigonometrie und sphärische Trigonometrie. Es enthält auch fortgesetzte Brüche, quadratische Gleichungen, Summen von Potenzreihen und eine Sinustabelle. Betrachten wir einige davon etwas genauer.
Zunächst schauen wir uns das System zur Darstellung von Zahlen an, das Aryabhata erfand und im Aryabhatiya Ⓣ verwendete. Es besteht darin, den 33 Konsonanten des indischen Alphabets numerische Werte zuzuordnen, die 1, 2, 3, … , 25, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100. Die höheren Zahlen werden durch diese Konsonanten, gefolgt von einem Vokal, dargestellt, um 100, 10000, …. zu erhalten. Tatsächlich erlaubt das System die Darstellung von Zahlen bis 101810^{18}1018 mit einer alphabetischen Notation. Ifrah in argumentiert, dass Aryabhata auch mit Zahlensymbolen und dem Stellenwertsystem vertraut war. Er schreibt in :-
… es ist sehr wahrscheinlich, dass Aryabhata das Zeichen für Null und die Ziffern des Stellenwertsystems kannte. Diese Vermutung stützt sich auf die folgenden zwei Tatsachen: Erstens wäre die Erfindung seines alphabetischen Zählsystems ohne die Null oder das Stellenwertsystem unmöglich gewesen; zweitens führt er Berechnungen über Quadrat- und Kubikwurzeln durch, die unmöglich sind, wenn die betreffenden Zahlen nicht nach dem Stellenwertsystem und der Null geschrieben werden.
Nachfolgend betrachten wir kurz einige Algebra, die im Aryabhatiya Ⓣ enthalten ist. Diese Arbeit ist die erste, die wir kennen, die ganzzahlige Lösungen von Gleichungen der Form by=ax+cby = ax + cby=ax+c und by=ax-cby = ax – cby=ax-c untersucht, wobei a,b,ca, b, ca,b,c ganze Zahlen sind. Das Problem ergab sich aus der Untersuchung des astronomischen Problems der Bestimmung der Perioden der Planeten. Aryabhata verwendet die Kuttaka-Methode, um Probleme dieser Art zu lösen. Das Wort kuttaka bedeutet „zermahlen“, und die Methode bestand darin, das Problem in neue Probleme zu zerlegen, bei denen die Koeffizienten mit jedem Schritt kleiner und kleiner wurden. Die Methode hier ist im Wesentlichen die Anwendung des euklidischen Algorithmus, um den höchsten gemeinsamen Faktor von aaa und bbb zu finden, hat aber auch mit fortgesetzten Brüchen zu tun.
Aryabhata gab eine genaue Annäherung für π. Er schrieb im Aryabhatiya Ⓣ das Folgende:-
Addiere vier zu hundert, multipliziere mit acht und füge dann zweiundsechzigtausend hinzu. das Ergebnis ist ungefähr der Umfang eines Kreises von zwanzigtausend Durchmesser. Mit dieser Regel ist das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser gegeben.
Daraus ergibt sich π=6283220000=3,1416\pi = \large\frac{62832}{20000}\normalize = 3,1416π=2000062832=3,1416, was ein erstaunlich genauer Wert ist. In der Tat ist π = 3,14159265 auf 8 Stellen genau. Wenn es schon überraschend ist, einen so genauen Wert zu erhalten, dann ist es vielleicht noch überraschender, dass Aryabhata seinen genauen Wert für π nicht verwendet, sondern es vorzieht, in der Praxis √10 = 3,1622 zu verwenden. Aryabhata erklärt nicht, wie er diesen genauen Wert gefunden hat, aber Ahmad hält diesen Wert zum Beispiel für eine Annäherung an die Hälfte des Umfangs eines regelmäßigen Polygons mit 256 Seiten, das in den Einheitskreis eingeschrieben ist. Bruins zeigt jedoch, dass dieses Ergebnis nicht durch die Verdoppelung der Seitenzahl erreicht werden kann. Ein weiterer interessanter Artikel, in dem dieser genaue Wert von π von Aryabhata diskutiert wird, ist der, in dem Jha schreibt:-
Aryabhata I’s Wert von π ist eine sehr gute Annäherung an den modernen Wert und der genaueste unter den Werten der Alten. Es gibt Gründe zu glauben, dass Aryabhata eine besondere Methode zur Ermittlung dieses Wertes entwickelt hat. Es ist hinreichend bewiesen, dass Aryabhata selbst diese Methode verwendet hat, und mehrere spätere indische Mathematiker und sogar die Araber haben sie übernommen. Die Vermutung, dass der von Aryabhata ermittelte Wert von π griechischen Ursprungs ist, wird kritisch geprüft und entbehrt jeder Grundlage. Aryabhata entdeckte diesen Wert unabhängig und erkannte auch, dass π eine irrationale Zahl ist. Er hatte zweifellos einen indischen Hintergrund, aber er übertraf alle seine Vorgänger bei der Berechnung von π. Das Verdienst, diesen exakten Wert von π entdeckt zu haben, kann also dem berühmten Mathematiker Aryabhata I. zugeschrieben werden.
Wir schauen uns nun die Trigonometrie an, die in Aryabhatas Abhandlung enthalten ist. Er gab eine Sinustabelle an, in der er die ungefähren Werte in Abständen von 90°24\large\frac{90°}{24}\normalsize2490° = 3° 45′ berechnete. Dazu verwendete er eine Formel für sin(n+1)x-sinnx\sin(n + 1)x – \sin nxsin(n+1)x-sinnx in Form von sinnx\sin nxsinnx und sin(n-1)x\sin (n – 1)xsin(n-1)x. Er führte auch den Versinus (Versin = 1 – Kosinus) in die Trigonometrie ein.
Andere von Aryabhata angegebene Regeln sind die für die Summierung der ersten nnn ganzen Zahlen, der Quadrate dieser ganzen Zahlen und auch ihrer Kuben. Aryabhata gibt Formeln für die Flächen eines Dreiecks und eines Kreises an, die korrekt sind, aber die Formeln für die Volumina einer Kugel und einer Pyramide werden von den meisten Historikern als falsch bezeichnet. So bezeichnet Ganitanand die Tatsache, dass Aryabhata die falsche Formel V=Ah/2V = Ah/2V=Ah/2 für das Volumen einer Pyramide mit der Höhe h und der dreieckigen Grundfläche AAA angibt, als „mathematische Entgleisung“. Er scheint auch einen falschen Ausdruck für das Volumen einer Kugel zu geben. Wie so oft ist jedoch nichts so einfach, wie es scheint, und Elfering (siehe z.B. ) argumentiert, dass es sich hierbei nicht um einen Fehler, sondern vielmehr um das Ergebnis einer falschen Übersetzung handelt.
Dies bezieht sich auf die Verse 6, 7 und 10 des zweiten Abschnitts des Aryabhatiya Ⓣ und führt bei Elfering zu einer Übersetzung, die sowohl für das Volumen einer Pyramide als auch für das einer Kugel die richtige Antwort liefert. Allerdings übersetzt Elfering in seiner Übersetzung zwei Fachausdrücke auf eine andere Art und Weise, als sie normalerweise bedeuten. Ohne Belege dafür, dass diese Fachausdrücke an anderen Stellen in dieser abweichenden Bedeutung verwendet wurden, hat es den Anschein, dass Aryabhata tatsächlich die falschen Formeln für diese Volumina angegeben hat.
Wir haben uns die im Aryabhatiya Ⓣ enthaltene Mathematik angesehen, aber da es sich um einen Astronomietext handelt, sollten wir ein wenig über die darin enthaltene Astronomie sagen. Aryabhata gibt eine systematische Abhandlung über die Position der Planeten im Raum. Er gab den Umfang der Erde mit 4 967 Yojanas und ihren Durchmesser mit 15811241 581\large\frac{1}{24}\normalsize1581241 Yojanas an. Da 1 Yojana = 5 Meilen ist, ergibt dies einen Umfang von 24 835 Meilen, was eine ausgezeichnete Annäherung an den derzeit akzeptierten Wert von 24 902 Meilen ist. Er glaubte, dass die scheinbare Drehung des Himmels auf die Achsendrehung der Erde zurückzuführen sei. Dies ist eine recht bemerkenswerte Ansicht über die Natur des Sonnensystems, der sich spätere Kommentatoren nicht anschließen konnten, und die meisten änderten den Text, um Aryabhata vor den ihrer Meinung nach dummen Irrtümern zu bewahren!
Aryabhata gibt den Radius der Planetenbahnen in Bezug auf den Radius der Erd-/Sonnenbahn als im Wesentlichen ihre Rotationsperioden um die Sonne an. Er glaubt, dass der Mond und die Planeten durch reflektiertes Sonnenlicht leuchten, und er glaubt, dass die Bahnen der Planeten Ellipsen sind. Er erklärt korrekt die Ursachen von Sonnen- und Mondfinsternissen. Bis dahin glaubten die Inder, dass Finsternisse durch einen Dämon namens Rahu verursacht werden. Sein Wert für die Länge des Jahres von 365 Tagen, 6 Stunden, 12 Minuten und 30 Sekunden ist eine Überschätzung, da der wahre Wert weniger als 365 Tage und 6 Stunden beträgt.