Biografía
Aryabhata también es conocido como Aryabhata I para distinguirlo del posterior matemático del mismo nombre que vivió unos 400 años después. Al-Biruni no ha ayudado a entender la vida de Aryabhata, ya que parecía creer que había dos matemáticos diferentes llamados Aryabhata viviendo al mismo tiempo. Por lo tanto, creó una confusión de dos Aryabhatas diferentes que no se aclaró hasta 1926, cuando B Datta demostró que los dos Aryabhatas de al-Biruni eran una misma persona.
Conocemos el año de nacimiento de Aryabhata ya que nos dice que tenía veintitrés años de edad cuando escribió Aryabhatiya Ⓣ que terminó en 499. Hemos dado como lugar de nacimiento de Aryabhata Kusumapura, que se cree que está cerca de Pataliputra (que fue refundada como Patna en Bihar en 1541), pero esto está lejos de ser seguro, como lo está incluso la ubicación de la propia Kusumapura. Como escribe Parameswaran en :-
… no se puede dar un veredicto definitivo sobre la ubicación de Asmakajanapada y Kusumapura.
Sabemos que Aryabhata escribió Aryabhatiya Ⓣ en Kusumapura en la época en que Pataliputra era la capital del imperio Gupta y un importante centro de aprendizaje, pero ha habido otros numerosos lugares propuestos por los historiadores como su lugar de nacimiento. Algunos conjeturan que nació en el sur de la India, quizás en Kerala, Tamil Nadu o Andhra Pradesh, mientras que otros conjeturan que nació en el noreste de la India, quizás en Bengala. Se afirma que Aryabhata nació en la región de Asmaka, de la dinastía Vakataka, en el sur de la India, aunque el autor acepta que vivió la mayor parte de su vida en Kusumapura, en el imperio Gupta del norte. Sin embargo, la atribución de Asmaka como lugar de nacimiento de Aryabhata se basa en un comentario realizado por Nilakantha Somayaji a finales del siglo XV. La mayoría de los historiadores piensan ahora que Nilakantha confundió a Aryabhata con Bhaskara I, que fue un comentarista posterior de la Aryabhatiya ↪So_8927> Debemos tener en cuenta que Kusumapura se convirtió en uno de los dos principales centros matemáticos de la India, siendo el otro Ujjain. Ambos están en el norte, pero Kusumapura (suponiendo que esté cerca de Pataliputra) está en el Ganges y es el más septentrional. Pataliputra, al ser la capital del imperio Gupta en la época de Aryabhata, era el centro de una red de comunicaciones que permitía que el aprendizaje de otras partes del mundo llegara fácilmente, y también permitió que los avances matemáticos y astronómicos realizados por Aryabhata y su escuela llegaran a toda la India y también, eventualmente, al mundo islámico.
En cuanto a los textos escritos por Aryabhata sólo ha sobrevivido uno. Sin embargo, Jha afirma que:-
… Aryabhata fue autor de al menos tres textos astronómicos y escribió también algunas estrofas libres.
El texto que ha sobrevivido es la obra maestra de Aryabhata, el Aryabhatiya Ⓣ que es un pequeño tratado astronómico escrito en 118 versos que ofrece un resumen de las matemáticas hindúes hasta ese momento. Su sección matemática contiene 33 versos que dan 66 reglas matemáticas sin pruebas. El Aryabhatiya Ⓣ contiene una introducción de 10 versos, seguida de una sección de matemáticas con, como acabamos de mencionar, 33 versos, luego una sección de 25 versos sobre el cálculo del tiempo y los modelos planetarios, y la sección final de 50 versos es sobre la esfera y los eclipses.
Hay una dificultad con esta disposición que es discutida en detalle por van der Waerden en . Van der Waerden sugiere que, de hecho, la introducción de 10 versos se escribió más tarde que las otras tres secciones. Una de las razones para creer que las dos partes no estaban pensadas como un todo es que la primera sección tiene una métrica diferente a la de las tres secciones restantes. Sin embargo, los problemas no acaban ahí. Hemos dicho que la primera sección tiene diez versos y, efectivamente, Aryabhata titula la sección Conjunto de diez estrofas giti. Pero en realidad contiene once giti stanzas y dos arya stanzas. Van der Waerden sugiere que se han añadido tres estrofas e identifica un pequeño número de estrofas en las secciones restantes que, según él, también han sido añadidas por un miembro de la escuela de Aryabhata en Kusumapura.
La parte matemática del Aryabhatiya Ⓣ abarca aritmética, álgebra, trigonometría plana y trigonometría esférica. También contiene fracciones continuas, ecuaciones cuadráticas, sumas de series de potencias y una tabla de senos. Examinemos algunos de ellos con un poco más de detalle.
En primer lugar, veremos el sistema de representación de los números que Aryabhata inventó y utilizó en la Aryabhatiya Ⓣ. Consiste en dar valores numéricos a las 33 consonantes del alfabeto indio para representar 1, 2, 3, … , 25, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100. Los números más altos se denotan con estas consonantes seguidas de una vocal para obtener 100, 10000, …. De hecho, el sistema permite representar los números hasta 101810^{18}1018 con una notación alfabética. Ifrah sostiene que Aryabhata también estaba familiarizado con los símbolos numéricos y el sistema de valor posicional. Escribe en :-
… es muy probable que Aryabhata conociera el signo del cero y los numerales del sistema de valor posicional. Esta suposición se basa en los dos hechos siguientes: en primer lugar, la invención de su sistema de recuento alfabético habría sido imposible sin el cero o el sistema de valor posicional; en segundo lugar, realiza cálculos sobre raíces cuadradas y cúbicas que son imposibles si los números en cuestión no se escriben según el sistema de valor posicional y el cero.
A continuación, examinamos brevemente algo de álgebra contenida en el Aryabhatiya Ⓣ. Este trabajo es el primero que conocemos que examina soluciones enteras a ecuaciones de la forma by=ax+cby = ax + cby=ax+c y by=ax-cby = ax – cby=ax-c, donde a,b,ca, b, ca,b,c son números enteros. El problema surgió al estudiar el problema en astronomía de determinar los períodos de los planetas. Aryabhata utiliza el método kuttaka para resolver problemas de este tipo. La palabra kuttaka significa «pulverizar» y el método consistía en descomponer el problema en nuevos problemas en los que los coeficientes se hacían cada vez más pequeños con cada paso. El método aquí es esencialmente el uso del algoritmo euclidiano para encontrar el mayor factor común de aaa y bbb, pero también está relacionado con las fracciones continuas.
Aryabhata dio una aproximación precisa para π. Escribió en el Aryabhatiya Ⓣ lo siguiente:-
Suma cuatro a cien, multiplique por ocho y luego sume sesenta y dos mil. el resultado es aproximadamente la circunferencia de un círculo de diámetro veinte mil. Por esta regla se da la relación de la circunferencia con el diámetro.
Esto da π=6283220000=3,1416\pi = \large\frac{62832}{20000}\normalidad = 3,1416π=2000062832=3,1416 que es un valor sorprendentemente exacto. De hecho, π = 3,14159265 es correcto hasta 8 posiciones. Si la obtención de un valor tan exacto es sorprendente, quizá lo sea aún más que Aryabhata no utilice su valor exacto para π, sino que prefiera utilizar en la práctica √10 = 3,1622. Aryabhata no explica cómo encontró este valor exacto pero, por ejemplo, Ahmad considera este valor como una aproximación a la mitad del perímetro de un polígono regular de 256 lados inscrito en el círculo unitario. Sin embargo, en Bruins muestra que este resultado no puede obtenerse a partir de la duplicación del número de lados. Otro documento interesante que discute este valor exacto de π por Aryabhata es donde Jha escribe:-
El valor de π de Aryabhata I es una aproximación muy cercana al valor moderno y el más exacto entre los de los antiguos. Hay razones para creer que Aryabhata ideó un método particular para encontrar este valor. Se ha demostrado con suficiente fundamento que el propio Aryabhata lo utilizó, y que varios matemáticos indios posteriores e incluso los árabes lo adoptaron. La conjetura de que el valor de π de Aryabhata es de origen griego se examina críticamente y se descubre que no tiene fundamento. Aryabhata descubrió este valor de forma independiente y también se dio cuenta de que π es un número irracional. Sin duda, tenía el origen indio, pero superó a todos sus predecesores en la evaluación de π. Por lo tanto, el mérito de descubrir este valor exacto de π puede atribuirse al célebre matemático, Aryabhata I.
Ahora examinamos la trigonometría contenida en el tratado de Aryabhata. Dio una tabla de senos calculando los valores aproximados a intervalos de 90°24\large\frac{90°}{24}\normalsize2490° = 3° 45′. Para ello, utilizó una fórmula para sin(n+1)x-sinnx\nelsin(n + 1)x – \sin nxsin(n+1)x-sinnx en términos de sinnx\nxsinnx y sin(n-1)x\nelsin(n – 1)xsin(n-1)x. También introdujo el verso (versin = 1 – coseno) en la trigonometría.
Otras reglas dadas por Aryabhata incluyen la de sumar los primeros nnn enteros, los cuadrados de estos enteros y también sus cubos. Aryabhata da fórmulas para las áreas de un triángulo y de un círculo que son correctas, pero las fórmulas para los volúmenes de una esfera y de una pirámide son consideradas erróneas por la mayoría de los historiadores. Por ejemplo, Ganitanand califica de «lapsus matemático» el hecho de que Aryabhata dé la fórmula incorrecta V=Ah/2V = Ah/2V=Ah/2 para el volumen de una pirámide con altura h y base triangular de área AAA. También parece dar una expresión incorrecta para el volumen de una esfera. Sin embargo, como suele ocurrir, nada es tan sencillo como parece y Elfering (véase por ejemplo ) sostiene que no se trata de un error, sino del resultado de una traducción incorrecta.
Esto se refiere a los versos 6, 7 y 10 de la segunda sección de la Aryabhatiya Ⓣ y en Elfering produce una traducción que da la respuesta correcta tanto para el volumen de una pirámide como para el de una esfera. Sin embargo, en su traducción, Elfering traduce dos términos técnicos de forma diferente al significado que suelen tener. Sin alguna prueba que demuestre que estos términos técnicos se han utilizado con estos significados diferentes en otros lugares, seguiría pareciendo que Aryabhata dio efectivamente las fórmulas incorrectas para estos volúmenes.
Hemos examinado las matemáticas contenidas en el Aryabhatiya Ⓣ, pero éste es un texto de astronomía, por lo que deberíamos decir algo sobre la astronomía que contiene. Aryabhata da un tratamiento sistemático de la posición de los planetas en el espacio. Dio la circunferencia de la tierra como 4.967 yojanas y su diámetro como 15811241 581\\frac{1}{24}\normalsize1581241 yojanas. Dado que 1 yojana = 5 millas, la circunferencia es de 24.835 millas, lo que constituye una excelente aproximación al valor actualmente aceptado de 24.902 millas. Creía que la rotación aparente de los cielos se debía a la rotación axial de la Tierra. Este es un punto de vista bastante notable de la naturaleza del sistema solar que los comentaristas posteriores no pudieron seguir y la mayoría cambió el texto para salvar a Aryabhata de lo que pensaban que eran errores estúpidos!
Aryabhata da el radio de las órbitas planetarias en términos del radio de la órbita de la Tierra/Sol como esencialmente sus períodos de rotación alrededor del Sol. Cree que la Luna y los planetas brillan por la luz solar reflejada, increíblemente cree que las órbitas de los planetas son elipses. Explica correctamente las causas de los eclipses de Sol y de Luna. La creencia india hasta ese momento era que los eclipses eran causados por un demonio llamado Rahu. Su valor de la duración del año en 365 días 6 horas 12 minutos 30 segundos es una sobreestimación, ya que el valor real es inferior a 365 días 6 horas.