Biografia
Aryabhata tunnetaan myös nimellä Aryabhata I erottaakseen hänet samannimisestä matemaatikosta, joka eli noin 400 vuotta myöhemmin. Al-Biruni ei ole auttanut Aryabhatan elämän ymmärtämisessä, sillä hän näytti uskovan, että samaan aikaan eli kaksi eri matemaatikkoa nimeltä Aryabhata. Siksi hän loi sekaannuksen kahdesta eri Aryabhatasta, joka selvitettiin vasta vuonna 1926, kun B Datta osoitti, että al-Birunin kaksi Aryabhataa olivat yksi ja sama henkilö.
Me tiedämme Aryabhatan syntymävuoden, sillä hän kertoo olleensa kaksikymmentäkolmevuotias kirjoittaessaan Aryabhatiya Ⓣ -kirjan, jonka hän sai valmiiksi vuonna 499. Olemme antaneet Aryabhatan syntymäpaikaksi Kusumapuran, jonka uskotaan sijaitsevan lähellä Pataliputraa (joka perustettiin uudelleen Biharissa sijaitsevaksi Patnaksi vuonna 1541), mutta tämä ei ole läheskään varmaa, kuten ei edes itse Kusumapuran sijainti. Kuten Parameswaran kirjoittaa :-
… Asmakajanapadan ja Kusumapuran sijainneista ei voida antaa lopullista tuomiota.
Tiedämme, että Aryabhata kirjoitti Aryabhatiya Ⓣ -kirjan Kusumapurassa aikana, jolloin Pataliputra oli Guptan valtakunnan pääkaupunki ja merkittävä oppimiskeskus, mutta historioitsijat ovat ehdottaneet hänen synnyinpaikakseen lukuisia muita paikkoja. Jotkut arvelevat, että hän syntyi Etelä-Intiassa, ehkä Keralassa, Tamil Nadussa tai Andhra Pradeshissa, kun taas toiset arvelevat, että hän syntyi Koillis-Intiassa, ehkä Bengalissa. Kirjassa väitetään, että Aryabhata syntyi Vakataka-dynastian Asmaka-alueella Etelä-Intiassa, vaikka kirjoittaja on hyväksynyt, että hän eli suurimman osan elämästään Kusumapurassa Guptan valtakunnassa pohjoisessa. Asmakan ilmoittaminen Aryabhatan syntymäpaikaksi perustuu kuitenkin Nilakantha Somayajin 1400-luvun loppupuolella tekemään huomautukseen. Useimmat historioitsijat ovat nykyään sitä mieltä, että Nilakantha sekoitti Aryabhatan Bhaskara I:een, joka oli myöhempi Aryabhatiya Ⓣ -teoksen kommentoija.
On syytä huomata, että Kusumapurasta tuli toinen Intian kahdesta suuresta matemaattisesta keskuksesta, toinen oli Ujjain. Molemmat ovat pohjoisessa, mutta Kusumapura (olettaen sen olevan lähellä Pataliputraa) sijaitsee Gangesin varrella ja on pohjoisemmassa. Koska Pataliputra oli Gupta-valtakunnan pääkaupunki Aryabhatan aikaan, se oli sellaisen viestintäverkoston keskus, jonka ansiosta oppiminen muualta maailmasta pääsi sinne helposti ja jonka ansiosta Aryabhatan ja hänen koulukuntansa tekemät matemaattiset ja tähtitieteelliset edistysaskeleet kulkivat halki Intian ja lopulta myös islamilaiseen maailmaan.
Aryabhatan kirjoittamista teksteistä on säilynyt vain yksi. Jha kuitenkin väittää siinä:-
…. Aryabhata oli ainakin kolmen tähtitieteellisen tekstin kirjoittaja ja kirjoitti myös joitakin vapaita säkeitä.
Esillä oleva teksti on Aryabhatan mestariteos Aryabhatiya Ⓣ , joka on 118 säkeistöön kirjoitettu pieni tähtitieteellinen traktaatti, joka antaa yhteenvedon hindulaisesta matematiikasta siihen asti. Sen matemaattinen osa sisältää 33 säettä, joissa annetaan 66 matemaattista sääntöä ilman todisteita. Aryabhatiya Ⓣ sisältää 10 säkeistön pituisen johdannon, jota seuraa matematiikkaa käsittelevä jakso, jossa on, kuten äsken mainitsimme, 33 säkeistöä, sitten 25 säkeistön pituinen jakso ajanlaskennasta ja planeettamalleista, ja viimeinen, 50 säkeistön pituinen jakso käsittelee palloa ja auringonpimennyksiä.
Tämässä ulkoasussa on eräs vaikeus, jota on käsitelty yksityiskohtaisesti van der Waerdenin teoksessa . Van der Waerden esittää, että itse asiassa 10 jakeen johdanto on kirjoitettu myöhemmin kuin kolme muuta jaksoa. Yksi syy uskoa, että näitä kahta osaa ei ole tarkoitettu kokonaisuudeksi, on se, että ensimmäisessä osassa on erilainen metri kuin kolmessa muussa osassa. Ongelmat eivät kuitenkaan lopu tähän. Sanoimme, että ensimmäisessä jaksossa oli kymmenen säkeistöä, ja Aryabhata todellakin otsikoi jakson ”Kymmenen giti-stansan kokonaisuus”. Tosiasiassa siinä on kuitenkin yksitoista giti- ja kaksi arya-äänettä. Van der Waerden ehdottaa, että kolme säkeistöä on lisätty, ja hän yksilöi jäljelle jääviin osioihin pienen määrän säkeitä, jotka hänen mukaansa on myös lisännyt Aryabhatan koulun jäsen Kusumapurassa.
Aryabhatiya Ⓣ:n matemaattinen osa käsittää aritmetiikkaa, algebraa, tasotrigonometriaa ja sfääristä trigonometriaa. Se sisältää myös jatkettuja murtolukuja, kvadraattisia yhtälöitä, potenssisarjojen summia ja sinitaulukon. Tarkastelkaamme joitakin näistä hieman yksityiskohtaisemmin.
Aluksi tarkastelemme numeroiden esitysjärjestelmää, jonka Aryabhata keksi ja jota hän käytti Aryabhatiya Ⓣ -teoksessa. Se koostuu siitä, että Intian aakkosten 33 konsonantille annetaan numeeriset arvot, jotka edustavat 1, 2, 3, … , 25, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100. Suuremmat luvut merkitään näillä konsonanteilla, joita seuraa vokaali, ja näin saadaan 100, 10000, ….. Itse asiassa järjestelmä mahdollistaa lukujen esittämisen aakkosellisella merkintätavalla aina 101810^{18}1018 asti. Ifrah in väittää, että Aryabhata tunsi myös numerosymbolit ja paikka-arvojärjestelmän. Hän kirjoittaa :-
… on erittäin todennäköistä, että Aryabhata tunsi nollan merkin ja paikka-arvojärjestelmän numerosymbolit. Tämä oletus perustuu seuraaviin kahteen seikkaan: ensinnäkin hänen aakkosellisen laskentajärjestelmänsä keksiminen olisi ollut mahdotonta ilman nollaa tai paikka-arvojärjestelmää; toiseksi hän suorittaa neliö- ja kuutiojuuria koskevia laskutoimituksia, jotka ovat mahdottomia, jos kyseisiä lukuja ei ole kirjoitettu paikka-arvojärjestelmän ja nollan mukaisesti.
Seuraavaksi tarkastelemme lyhyesti jotakin Aryabhatiyan sisältämää algebraa Ⓣ. Tämä teos on ensimmäinen tietämämme, jossa tarkastellaan kokonaislukuratkaisuja yhtälöille, jotka ovat muotoa by=ax+cby = ax + cby=ax+c ja by=ax-cby = ax – cby=ax-c, missä a,b,ca, b, ca,b,c ovat kokonaislukuja. Ongelma syntyi, kun tutkittiin tähtitieteen ongelmaa planeettojen jaksojen määrittämisestä. Aryabhata käyttää kuttaka-menetelmää tämäntyyppisten ongelmien ratkaisemiseen. Sana kuttaka tarkoittaa ”murskata”, ja menetelmä koostui ongelman pilkkomisesta uusiin ongelmiin, joissa kertoimet pienenivät ja pienenivät joka askeleella. Menetelmä on tässä pohjimmiltaan euklidisen algoritmin käyttöä aaa:n ja bbb:n suurimman yhteisen tekijän löytämiseksi, mutta se liittyy myös jatkettuihin murtolukuihin.
Aryabhata antoi tarkan approksimaation π:lle. Hän kirjoitti Aryabhatiya Ⓣ -teoksessa seuraavaa:-
Lisää neljää sataan, kerro kahdeksalla ja laske sen jälkeen yhteen kuusikymmentäkaksituhatta. lopputulos on likimain halkaisijaltaan kaksikymmentätuhannen ympyrän ympärysmitta. Tämän säännön avulla saadaan kehän suhde halkaisijaan.
Tällöin saadaan π=6283220000=3.1416\pi = \large\frac{62832}{20000}\normalsize = 3.1416π=2000062832=3.1416, mikä on yllättävän tarkka arvo. Itse asiassa π = 3,14159265 kahdeksan paikan tarkkuudella oikein. Jos näin tarkan arvon saaminen on yllättävää, on ehkä vielä yllättävämpää, että Aryabhata ei käytä tarkkaa arvoa π:lle, vaan käyttää käytännössä mieluummin √10 = 3,1622. Aryabhata ei selitä, miten hän löysi tämän tarkan arvon, mutta esimerkiksi Ahmad pitää tätä arvoa likimääräisenä arvona, joka vastaa puolta yksikköympyrään piirretyn 256-sivuisen säännöllisen monikulmion kehästä. Bruins osoittaa kuitenkin, että tätä tulosta ei voida saada sivujen lukumäärän kaksinkertaistamisesta. Toinen mielenkiintoinen artikkeli, jossa käsitellään tätä Aryabhatan tarkkaa π:n arvoa, on se, jossa Jha kirjoittaa:-
Aryabhata I:n π:n arvo on hyvin läheinen approksimaatio nykyaikaiselle arvolle ja tarkin muinaisten arvoista. On syytä uskoa, että Aryabhata kehitti erityisen menetelmän tämän arvon löytämiseksi. On osoitettu riittävin perustein, että Aryabhata itse käytti sitä, ja useat myöhemmät intialaiset matemaatikot ja jopa arabit ottivat sen käyttöönsä. Aryabhatan arviota, jonka mukaan Aryabhatan π-arvo olisi kreikkalaista alkuperää, tarkastellaan kriittisesti, ja se osoittautuu perusteettomaksi. Aryabhata löysi tämän arvon itsenäisesti ja tajusi myös, että π on irrationaaliluku. Hänellä oli epäilemättä intialainen tausta, mutta hän päihitti kaikki edeltäjänsä π:n arvioinnissa. Näin ollen kunnian tämän π:n tarkan arvon löytämisestä voidaan katsoa kuuluisan matemaatikon, Aryabhata I:n, ansioksi.
Tarkastelemme nyt Aryabhatan tutkielmaan sisältyvää trigonometriaa. Hän antoi sinitaulukon, jossa laskettiin likiarvot 90°:n välein2424\large\frac{90°}{24}\normalsize2490° = 3° 45′. Tätä varten hän käytti kaavaa sin(n+1)x-sinnx\sin(n + 1)x – \sin nxsin(n+1)x-sinnx:n suhteen sinnx\sin nxsinnx ja sin(n-1)x\sin (n – 1)xsin(n-1)x. Hän otti trigonometriaan käyttöön myös versinin (versin = 1 – kosin).
Muita Aryabhatan antamia sääntöjä ovat mm. säännöt ensimmäisten nnn kokonaisluvun, näiden kokonaislukujen neliöiden ja myös niiden kuutioiden yhteenlaskuun. Aryabhata antaa kaavat kolmion ja ympyrän pinta-aloille, jotka ovat oikeita, mutta pallon ja pyramidin tilavuuksien kaavat ovat useimpien historioitsijoiden mukaan vääriä. Esimerkiksi Ganitanand kuvailee ”matemaattisiksi kömmähdyksiksi” sitä, että Aryabhata antaa virheellisen kaavan V=Ah/2V = Ah/2V=Ah/2 sellaisen pyramidin tilavuudelle, jonka korkeus on h ja kolmion pohjan pinta-ala AAA. Hän näyttää myös antavan virheellisen lausekkeen pallon tilavuudelle. Kuten usein, mikään ei kuitenkaan ole niin suoraviivaista kuin miltä näyttää, ja Elfering (ks. esim ) väittää, että kyseessä ei ole virhe, vaan pikemminkin virheellisen käännöksen tulos.
Tämä liittyy Aryabhatiyan Ⓣ toisen osan jakeisiin 6, 7 ja 10, ja Elfering tuottaa käännöksen, joka antaa oikean vastauksen sekä pyramidin että pallon tilavuudelle. Elfering kääntää kuitenkin käännöksessään kaksi teknistä termiä eri tavalla kuin mitä niillä yleensä tarkoitetaan. Ilman tukevia todisteita siitä, että näitä teknisiä termejä on käytetty näissä eri merkityksissä muissa paikoissa, näyttäisi silti siltä, että Aryabhata todellakin antoi väärät kaavat näille tilavuuksille.
Olemme tarkastelleet Aryabhatiyan sisältämää matematiikkaa Ⓣ mutta tämä on tähtitieteen teksti, joten meidän on sanottava hieman sen sisältämästä tähtitieteestä. Aryabhata antaa systemaattisen käsittelyn planeettojen sijainnista avaruudessa. Hän antoi maapallon ympärysmitaksi 4 967 yojanaa ja halkaisijaksi 15811241 581\large\frac{1}{24}\normalsize1581241 yojanaa. Koska 1 yojana = 5 mailia, saadaan maan ympärysmitaksi 24 835 mailia, mikä on erinomainen likiarvo nykyisin hyväksytylle arvolle 24 902 mailia. Hän uskoi, että taivaan näennäinen kierto johtui Maan aksiaalisesta pyörimisestä. Tämä on varsin merkittävä näkemys aurinkokunnan luonteesta, jota myöhemmät kommentaattorit eivät saaneet itseään noudattamaan, ja useimmat muuttivat tekstiä pelastaakseen Aryabhatan heidän mielestään typeriltä virheiltä!
Aryabhata antaa planeettojen kiertoratojen säteen Maan ja Auringon välisen kiertoradan säteen perusteella olennaisesti niiden kiertoaikoina Auringon ympäri. Hän uskoo, että Kuu ja planeetat loistavat heijastuneesta auringonvalosta, uskomattomasti hän uskoo, että planeettojen radat ovat ellipsejä. Hän selittää oikein Auringon ja Kuun pimennysten syyt. Siihen asti intialaisen uskomuksen mukaan pimennykset aiheutti Rahu-niminen demoni. Hänen arvionsa vuoden pituudesta 365 päivää 6 tuntia 12 minuuttia 30 sekuntia on yliarvio, sillä todellinen arvo on alle 365 päivää 6 tuntia.