Biográfia
Arjabhata I. Arjabhata néven is ismert, hogy megkülönböztessük őt az azonos nevű későbbi matematikustól, aki körülbelül 400 évvel később élt. Al-Biruni nem segített Aryabhata életének megértésében, mert úgy tűnik, hogy szerinte két különböző Aryabhata nevű matematikus élt egy időben. Ezért két különböző Arjabhata keveredését idézte elő, ami csak 1926-ban tisztázódott, amikor B Datta kimutatta, hogy al-Biruni két Arjabhata egy és ugyanaz a személy.
Az Arjabhata születési évét tudjuk, mivel elmondása szerint huszonhárom éves volt, amikor megírta az Aryabhatiya Ⓣ -t, amelyet 499-ben fejezett be. Aryabhata születési helyeként Kusumapurát adtuk meg, amelyről úgy gondoljuk, hogy közel van Pataliputrához (amelyet 1541-ben Patna néven alapítottak újra Biharban), de ez korántsem biztos, ahogy még maga Kusumapura helye sem. Ahogy Parameswaran írja :-
… nem lehet végleges ítéletet mondani Asmakajanapada és Kusumapura helyét illetően.
Azt tudjuk, hogy Aryabhata Kusumapurában írta az Aryabhatiya Ⓣ -t abban az időben, amikor Pataliputra a Gupta birodalom fővárosa és a tanulás egyik fő központja volt, de a történészek számos más helyet is javasoltak születési helyként. Egyes feltételezések szerint Dél-Indiában született, talán Keralában, Tamil Naduban vagy Andhra Pradeshben, míg mások szerint Északkelet-Indiában, talán Bengáliában. Azt állítják, hogy Aryabhata a dél-indiai Vakataka-dinasztia Asmaka régiójában született, bár a szerző elfogadta, hogy élete nagy részét az északi Gupta-birodalomban, Kusumapurában élte le. Asmaka megadása Aryabhata születési helyeként azonban Nilakantha Somayaji egy, a 15. század végén tett megjegyzésén alapul. Ma már a legtöbb történész úgy véli, hogy Nilakantha összekeverte Aryabhata-t I. Bhaskara-val, aki az Aryabhatiya Ⓣ későbbi kommentátora volt.
Meg kell jegyeznünk, hogy Kusumapura lett India két nagy matematikai központjának egyike, a másik Ujjain. Mindkettő északon van, de Kusumapura (feltételezve, hogy közel van Pataliputrához) a Gangesz partján fekszik, és északabbra van. Pataliputra, amely Aryabhata idején a Gupta birodalom fővárosa volt, egy olyan kommunikációs hálózat központja volt, amely lehetővé tette, hogy a világ más részeiből érkező tudás könnyen eljusson oda, és azt is, hogy az Aryabhata és iskolája által elért matematikai és csillagászati eredmények eljussanak egész Indiába, és végül az iszlám világba is.
Az Aryabhata által írt szövegek közül csak egy maradt fenn. Jha azonban azt állítja, hogy:-
… Aryabhata legalább három csillagászati szöveg szerzője volt, és írt néhány szabad strófát is.
A fennmaradt szöveg Aryabhata mesterműve az Aryabhatiya Ⓣ amely egy 118 versszakban írt kis csillagászati traktátus, amely a hindu matematika addigi összefoglalóját adja. Matematikai része 33 verset tartalmaz, amelyek 66 matematikai szabályt adnak meg bizonyítás nélkül. Az Aryabhatiya Ⓣ tartalmaz egy 10 versből álló bevezetést, amelyet egy matematikai rész követ, az imént említett 33 verssel, majd egy 25 versből álló rész az időszámításról és a bolygómodellekről, az utolsó, 50 versből álló rész pedig a gömbről és a napfogyatkozásokról szól.
Ezzel az elrendezéssel van egy nehézség, amelyet van der Waerden részletesen tárgyal a . Van der Waerden azt sugallja, hogy a 10 verses Bevezetés valójában később íródott, mint a másik három szakasz. Az egyik ok, amiért úgy gondoljuk, hogy a két részt nem egy egésznek szánták, az, hogy az első szakasz más metrummal rendelkezik, mint a többi három szakasz. A problémák azonban itt nem érnek véget. Azt mondtuk, hogy az első szakasz tíz versszakból áll, és valóban, Aryabhata a tíz giti strófából álló szakasznak ad címet. Valójában azonban tizenegy giti strófát és két arya strófát tartalmaz. Van der Waerden azt sugallja, hogy három versszakot hozzáadtak, és a fennmaradó szakaszokban is azonosít néhány versszakot, amelyeket szerinte szintén Aryabhata kusumapurai iskolájának egy tagja adott hozzá.
Az Aryabhatiya Ⓣ matematikai része aritmetikát, algebrát, síkbeli trigonometriát és gömbi trigonometriát tartalmaz. Tartalmaz továbbá folytatólagos törteket, kvadratikus egyenleteket, hatványsorok összegeit és a szinuszok táblázatát. Vizsgáljunk meg ezek közül néhányat egy kicsit részletesebben.
Először nézzük meg a számok ábrázolásának rendszerét, amelyet Aryabhata talált ki és használt az Aryabhatiya Ⓣ-ban. Ez abból áll, hogy az indiai ábécé 33 mássalhangzójának számértékeket adunk az 1, 2, 3, … , 25, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100. A magasabb számokat ezek a mássalhangzók és egy magánhangzó követi, így kapjuk a 100, 10000, …. számokat. Valójában a rendszer lehetővé teszi, hogy a számokat 101810^{18}1018-ig ábécés jelöléssel ábrázoljuk. Ifrah azt állítja, hogy Aryabhata is ismerte a számjegyeket és a helyértékrendszert. Azt írja :-
… rendkívül valószínű, hogy Aryabhata ismerte a nulla jelét és a helyértékrendszer számjegyeit. Ez a feltételezés a következő két tényen alapul: először is, ábécés számolási rendszerének feltalálása lehetetlen lett volna a nulla vagy a helyértékrendszer nélkül; másodszor, olyan négyzet- és köbgyökszámításokat végez, amelyek lehetetlenek, ha a kérdéses számokat nem a helyértékrendszer és a nulla szerint írja.”
A következőkben röviden megvizsgálunk néhány, az Aryabhatiya Ⓣ-ban szereplő algebrát. Ez az általunk ismert mű az első, amely a by=ax+cby = ax + cby=ax+c és by=ax-cby = ax – cby=ax-c alakú egyenletek egész számú megoldásait vizsgálja, ahol a,b,ca, b, ca,b,c egész számok. A probléma a csillagászatban a bolygók periódusainak meghatározásával kapcsolatos probléma tanulmányozása során merült fel. Aryabhata az ilyen típusú problémák megoldására a kuttaka-módszert használja. A kuttaka szó jelentése “porlasztani”, és a módszer abból állt, hogy a problémát újabb és újabb problémákra bontotta, ahol az együtthatók minden egyes lépéssel egyre kisebbek lettek. A módszer itt lényegében az euklideszi algoritmus használata aaa és bbb legnagyobb közös tényezőjének megtalálására, de a folytatólagos törtekkel is összefügg.
Aryabhata pontos közelítést adott π-re. Az Aryabhatiya Ⓣ-ban a következőket írta:-
Adjunk négyet százhoz, szorozzuk meg nyolccal, majd adjunk hozzá hatvankétezret. az eredmény körülbelül egy húszezer átmérőjű kör kerülete. Ezzel a szabállyal megkapjuk a kerület és az átmérő viszonyát.
Ez adja π=6283220000=3,1416\pi = \nagy\frak{62832}{20000}\normalsize = 3,1416π=2000062832=3,1416, ami meglepően pontos érték. Valójában π = 3,14159265 8 helyre pontosan. Ha egy ilyen pontos érték elérése meglepő, akkor talán még meglepőbb, hogy Aryabhata nem használja a π pontos értékét, hanem a gyakorlatban inkább √10 = 3,1622-t használ. Aryabhata nem magyarázza meg, hogyan találta meg ezt a pontos értéket, de például Ahmad ezt az értéket az egységkörbe beírt 256 oldalú szabályos sokszög kerületének feléhez való közelítésnek tekinti. Bruinsban azonban kimutatja, hogy ez az eredmény nem kapható az oldalak számának megduplázásával. Egy másik érdekes írás Aryabhata e pontos π értékét tárgyalja, ahol Jha azt írja:-
Aryabhata I. π értéke nagyon közelíti a modern értéket, és a legpontosabb a régiek értékei közül. Okkal feltételezhetjük, hogy Aryabhata egy sajátos módszert dolgozott ki ennek az értéknek a megállapítására. Kellő alapossággal kimutatták, hogy maga Aryabhata használta, és több későbbi indiai matematikus, sőt az arabok is átvették. Kritikusan megvizsgálják azt a feltételezést, hogy Aryabhata π értékét görög eredetűnek tartja, és megállapítják, hogy az alaptalan. Aryabhata önállóan fedezte fel ezt az értéket, és azt is felismerte, hogy a π irracionális szám. Kétségtelenül indiai háttérrel rendelkezett, de a π kiértékelésében minden elődjét felülmúlta. Így a π e pontos értékének felfedezése az ünnepelt matematikusnak, Aryabhata I-nek tulajdonítható.
Most nézzük meg az Aryabhata értekezésében szereplő trigonometriát. Megadta a szinuszok táblázatát, amely 90°24\large\frac{90°}{24}\normalsize2490° = 3° 45′ közelítő értékeit számítja ki. Ehhez a sin(n+1)x-sinnx\sin(n + 1)x – \sin nxsin(n+1)x-sinnx képletet használta sinnx\sin nxsinnx és sin(n-1)x\sin (n – 1)xsin(n-1)xsin(n-1)x alakban. A trigonometriába bevezette a versinuszt is (versin = 1 – koszinusz).
Az Aryabhata által megadott további szabályok közé tartozik az első nnn egész szám összegzésére, ezen egész számok négyzeteire és azok kockáira vonatkozó szabály. Aryabhata a háromszög és a kör területére ad képleteket, amelyek helyesek, de a gömb és a piramis térfogatára vonatkozó képleteket a legtöbb történész tévesnek állítja. Ganitanand például “matematikai hibának” nevezi azt a tényt, hogy Aryabhata a h magasságú és AAA alapterületű háromszög alakú piramis térfogatára a V=Ah/2V = Ah/2V=Ah/2 helytelen képletet adja meg. Úgy tűnik, hogy egy gömb térfogatára is helytelen kifejezést ad. Azonban, mint gyakran, semmi sem olyan egyszerű, mint amilyennek látszik, és Elfering (lásd például ) azt állítja, hogy ez nem hiba, hanem inkább egy helytelen fordítás eredménye.
Ez az Aryabhatiya Ⓣ második szakaszának 6., 7. és 10. versére vonatkozik, és Elferingben olyan fordítást ad, amely helyes választ ad mind a piramis, mind a gömb térfogatára. Fordításában azonban Elfering két szakkifejezést a szokásos jelentéstől eltérő módon fordít. Valamilyen alátámasztó bizonyíték nélkül, hogy ezeket a szakkifejezéseket más helyeken is ilyen eltérő jelentéssel használták, továbbra is úgy tűnik, hogy az Aryabhata valóban helytelen képleteket adott meg ezekre a térfogatokra.
Megnéztük az Aryabhatiya Ⓣ-ban szereplő matematikát, de ez egy csillagászati szöveg, így egy kicsit szólnunk kell a benne szereplő csillagászatról is. Az Aryabhata szisztematikusan tárgyalja a bolygók helyzetét a térben. A Föld kerületét 4 967 yojanában, átmérőjét pedig 15811241 581\large\frac{1}{24}\normalsize1581241 yojanában adta meg. Mivel 1 yojana = 5 mérföld, így a kerület 24 835 mérföld, ami kiváló közelítése a jelenleg elfogadott 24 902 mérföldes értéknek. Úgy vélte, hogy az égbolt látszólagos forgása a Föld tengelyirányú forgásának köszönhető. Ez a Naprendszer természetéről alkotott igen figyelemreméltó nézet, amelyet a későbbi kommentátorok nem tudtak követni, és a legtöbbjük megváltoztatta a szöveget, hogy megmentse Aryabhata-t a szerintük ostoba hibáktól!
Aryabhata a bolygópályák sugarát a Föld/Nap pálya sugaraként adja meg, mint lényegében a Nap körüli forgási periódusaikat. Szerinte a Hold és a bolygók a visszavert napfény által ragyognak, hihetetlenül úgy véli, hogy a bolygók pályái ellipszisek. Helyesen magyarázza a Nap és a Hold fogyatkozásainak okait. Az indiai hiedelem addig az volt, hogy a napfogyatkozásokat egy Rahu nevű démon okozza. Az év hosszának 365 nap 6 óra 12 perc 30 másodpercben megadott értéke túlbecsült érték, mivel a valódi érték kevesebb, mint 365 nap 6 óra.