複素解析学 | SG Web

主な記事。正則関数

以下も参照。 Coherent sheaf and Vector bundle

Complex functions that is differentiable at every point of an open subset Ω {displaystyle ╱Omega }.

$Omega$

of complex plane is called be holomorphic on Ω {displaystyle \Omega }.

$Omega$

. 複素解析の文脈では、fの微分{ {displaystyle f} があります。

$f$

at z 0 {displaystyle z_{0}}.

$z_{0}$

は、 f ′ ( z 0 ) = lim z → z 0 f ( z ) – f ( z 0 ) z – z 0 と定義されます。 {displaystyle f'(z_{0})=Thanklim _{zto z_{0}}{frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}.} .

${displaystyle f'(z_{0})=lim _{z}to z_{0}}{frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}.}$

表面的には、この定義は実関数の微分のそれと形式的には類似しています。しかし、複素導関数と微分可能な関数は実関数の導関数とは大きく異なる振る舞いをします。特に、この極限が存在するためには、z 0 {displaystyle z_{0}} にどのように近づいても、差分商の値が同じ複素数に近づかなければなりません。

$z_{0}$

複素数平面上において。その結果、複素微分可能性は実微分可能性よりはるかに強い意味を持つ。例えば、実関数では n 番目の微分が存在しても (n + 1) 番目の微分が存在する必要はありませんが、正則関数は無限に微分可能です。さらに、すべての正則関数は、より強い解析性の条件を満たす。つまり、関数はその領域のすべての点で、局所的に収束した冪級数で与えられる。つまり、Ω上で正則な関数は、その領域内のすべての点で、局所的に収束する冪級数で与えられる。

$Omega$

can be approximated arbitrarily well by polynomials in some neighborhood of every point in Ω {displaystyle ╱Omega }.

$Omega$

. これは微分可能な実関数とは対照的で、どこにも解析的でない無限に微分可能な実関数が存在します; 非解析的平滑関数§どこにも実解析的でない平滑関数を参照してください。

{displaystyle \mathbb {C}}。 \♪♪～は複素平面全体にわたって正則なので全関数となり、有理関数p / q {displaystyle p/q} は複素平面全体にわたって正則なので全関数となる。｝

$p/q$

、pとqは多項式で、qが0である点を除いた領域で正則となる。このように孤立点を除けばどこでも正則な関数は子正則関数と呼ばれる。一方、関数 z ↦ ℜ ( z ) { {displaystyle zmapsto \Re (z) } は、qが0である点を除く領域で正則である。

${displaystyle zmapsto \Re (z)}$

, z ↦ | z | {displaystyle zmapsto |z|} {displaystyle zmapsto |displaystyle z|} {displaystyle zmapsto |z|} , z ↦ | z

${displaystyle zmapsto |z|}$

, and z ↦ z ¯ {displaystyle zmapsto {}bar {z}}}

{Cauchy-Riemann conditions (後述) を満たさないことからわかるように、複素平面上のどこでも正則ではないことがわかります。

正則関数の重要な性質は、実数成分と虚数成分の偏導関数間の関係で、コーシー・リーマン条件として知られています。 f : C → C {displaystyle f:\mathbb {C}} であるとき。 \ to \mathbb {C}. }

${displaystyle f:\mathbb {C}}のように。 \♪♪～ }$

, f ( z ) = f ( x + i y ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) {displaystyle f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)} で定義される。

${displaystyle f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)}$

, where x , y , u ( x , y ) , v ( x , y )∈R {in \mathbb {R} x,y,u(x,y),v(x,y)

${displaystyle x,y,u(x,y)v(x,y)in \mathbb {R} }$

, is holomorphic on a region Ω {displaystyle \Omega } .

$Omega$

, then ( ∂ f / ∂ z ¯ ) ( z 0 ) = 0 {displaystyle (\partial f/theater {bar {z}})(z_{0})=0} {displaystyle (∂ f/theater {bar {z}) (z_{0})=0} {displaystyle (\partial f/theater {bar {bar {z})

${displaystyle (\partial f/partial {bar {z}})(z_{0})=0}$