Biografia
Aryabhata jest również znany jako Aryabhata I, aby odróżnić go od późniejszego matematyka o tym samym imieniu, który żył około 400 lat później. Al-Biruni nie pomógł w zrozumieniu życia Aryabhaty, ponieważ zdawał się wierzyć, że w tym samym czasie żyło dwóch różnych matematyków o imieniu Aryabhata. Dlatego stworzył zamieszanie dwóch różnych Aryabhatas, które nie zostało wyjaśnione aż do 1926 roku, kiedy B Datta pokazał, że dwaj Aryabhatas al-Biruniego byli jedną i tą samą osobą.
Znamy rok urodzenia Aryabhaty, ponieważ mówi nam, że miał dwadzieścia trzy lata, kiedy napisał Aryabhatiya Ⓣ, którą ukończył w 499 roku. Podaliśmy Kusumapurę, uważaną za bliską Pataliputrze (która została ponownie założona jako Patna w Biharze w 1541 roku), jako miejsce narodzin Aryabhaty, ale jest to dalekie od pewności, podobnie jak lokalizacja samej Kusumapury. Jak pisze Parameswaran w :-
… nie można wydać ostatecznego werdyktu odnośnie lokalizacji Asmakajanapada i Kusumapura.
Wiemy, że Aryabhata napisał Aryabhatiya Ⓣ w Kusumapura w czasie kiedy Pataliputra była stolicą imperium Gupta i głównym centrum nauki, ale było wiele innych miejsc proponowanych przez historyków jako miejsce jego narodzin. Niektórzy przypuszczają, że urodził się on w południowych Indiach, być może w Kerali, Tamil Nadu lub Andhra Pradesh, podczas gdy inni przypuszczają, że urodził się on w północno-wschodnich Indiach, być może w Bengalu. W twierdzi się, że Aryabhata urodził się w regionie Asmaka z dynastii Vakataka w południowych Indiach, chociaż autor zaakceptował, że żył przez większość swojego życia w Kusumapura w imperium Gupta na północy. Jednak podawanie Asmaki jako miejsca narodzin Aryabhaty opiera się na komentarzu Nilakanthy Somayaji z końca XV wieku. Obecnie większość historyków uważa, że Nilakantha pomylił Aryabhata z Bhaskarą I, który był późniejszym komentatorem Aryabhatiya Ⓣ.
Powinniśmy zauważyć, że Kusumapura stała się jednym z dwóch głównych centrów matematycznych Indii, drugim jest Ujjain. Oba są na północy, ale Kusumapura (zakładając, że jest blisko Pataliputry) jest nad Gangesem i jest bardziej na północ. Pataliputra, być the kapitał the Gupta imperium przy the czas Aryabhata, być the centrum komunikacja sieć che pozwolić nauka od inny część the świat ono łatwo, i także pozwolić the matematyczny i astronomiczny postęp robić Aryabhata i jego szkoła przez India i także ostatecznie w the Islamski świat.
Jak the tekst pisać Aryabhata tylko jeden przetrwać. Jednakże Jha twierdzi, że:-
… Aryabhata był autorem co najmniej trzech tekstów astronomicznych i napisał kilka wolnych zwrotek, jak również.
Zachowany tekst jest arcydziełem Aryabhata’s Aryabhatiya Ⓣ który jest małym traktatem astronomicznym napisanym w 118 wersach dając podsumowanie hinduskiej matematyki do tego czasu. Jego część matematyczna zawiera 33 wersy podające 66 reguł matematycznych bez dowodu. Aryabhatiya Ⓣ zawiera wstęp składający się z 10 wersów, po którym następuje sekcja matematyczna z, jak właśnie wspomnieliśmy, 33 wersami, następnie sekcja 25 wersów na temat liczenia czasu i modeli planetarnych, a ostatnia sekcja 50 wersów dotyczy sfery i zaćmień.
Jest pewna trudność z tym układem, która jest szczegółowo omówiona przez van der Waerdena w . Van der Waerden sugeruje, że w rzeczywistości 10 wersetowy Wstęp został napisany później niż pozostałe trzy sekcje. Jednym z powodów, dla których można sądzić, że te dwie części nie były zamierzone jako całość, jest fakt, że pierwsza część ma inne metrum niż pozostałe trzy części. Na tym jednak problemy się nie kończą. Powiedzieliśmy, że pierwsza sekcja ma dziesięć wersetów i rzeczywiście Aryabhata tytułuje tę sekcję Zestawem dziesięciu strof giti. Ale w rzeczywistości zawiera on jedenaście zwrotek giti i dwie zwrotki arya. Van der Waerden sugeruje, że trzy wersety zostały dodane i identyfikuje niewielką liczbę wersetów w pozostałych sekcjach, które, jak twierdzi, również zostały dodane przez członka szkoły Aryabhaty w Kusumapura.
Matematyczna część Aryabhatiya Ⓣ obejmuje arytmetykę, algebrę, trygonometrię płaską i trygonometrię sferyczną. Zawiera również ułamki ciągłe, równania kwadratowe, sumy szeregów potęgowych i tablicę sinusów. Przyjrzyjmy się niektórym z nich nieco bardziej szczegółowo.
Po pierwsze przyjrzyjmy się systemowi reprezentacji liczb, który Aryabhata wymyślił i wykorzystał w Aryabhatiya Ⓣ. Polega on na nadaniu wartości liczbowych 33 spółgłoskom alfabetu indyjskiego, aby reprezentowały 1, 2, 3, … , 25, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100. Wyższe liczby są oznaczane przez te spółgłoski z następującą po nich samogłoską, aby otrzymać 100, 10000, …. W rzeczywistości system pozwala liczbom do 101810^{18}1018 być reprezentowane z alfabetycznym zapisem. Ifrah argumentuje, że Aryabhata był również zaznajomiony z symbolami liczbowymi i systemem wartości miejsc. Pisze on :-
… jest bardzo prawdopodobne, że Aryabhata znał znak dla zera i cyfry systemu wartości miejsca. Przypuszczenie to opiera się na następujących dwóch faktach: po pierwsze, wynalezienie jego alfabetycznego systemu liczenia byłoby niemożliwe bez zera lub systemu wartości miejsca; po drugie, przeprowadza on obliczenia na pierwiastkach kwadratowych i sześciennych, które są niemożliwe, jeśli liczby, o których mowa, nie są zapisane zgodnie z systemem wartości miejsca i zerem.
Następnie przyjrzymy się pokrótce pewnej algebrze zawartej w Aryabhatiya Ⓣ. Ta praca jest pierwszą, o której wiemy, która bada całkowite rozwiązania równań w postaci by=ax+cby = ax + cby=ax+c i by=ax-cby = ax – cby=ax-c, gdzie a,b,ca, b, ca,b,c są liczbami całkowitymi. Problem powstał w wyniku badania problemu w astronomii, jakim jest wyznaczanie okresów planet. Aryabhata używa metody kuttaka do rozwiązywania tego typu problemów. Słowo kuttaka oznacza „miażdżyć”, a metoda polegała na rozbiciu problemu na nowe problemy, w których współczynniki stawały się coraz mniejsze z każdym krokiem. Metoda tutaj jest zasadniczo wykorzystaniem algorytmu euklidesowego do znalezienia największego wspólnego czynnika aaa i bbb, ale jest również związana z ułamkami ciągłymi.
Aryabhata podał dokładne przybliżenie dla π. Napisał w Aryabhatiya Ⓣ co następuje:-
Dodaj cztery do stu, pomnóż przez osiem, a następnie dodaj sześćdziesiąt dwa tysiące. wynik jest w przybliżeniu obwodem koła o średnicy dwudziestu tysięcy. Z tej reguły wynika zależność obwodu od średnicy.
To daje π=6283220000=3.1416π=2000062832=3.1416π=2000062832=3.1416 co jest zaskakująco dokładną wartością. W rzeczywistości π = 3,14159265 jest poprawna do 8 miejsc. Jeśli uzyskanie tak dokładnej wartości jest zaskakujące, to być może jeszcze bardziej zaskakujące jest to, że Aryabhata nie używa swojej dokładnej wartości dla π, ale woli używać √10 = 3.1622 w praktyce. Aryabhata nie wyjaśnia jak znalazł tę dokładną wartość, ale na przykład Ahmad uważa tę wartość za przybliżenie do połowy obwodu wielokąta foremnego o 256 bokach wpisanego w okrąg jednostkowy. Jednak w Bruins pokazuje, że wynik ten nie może być uzyskany z podwojenia liczby boków. Inny interesujący artykuł omawiający tę dokładną wartość π przez Aryabhata jest tam gdzie Jha pisze:-
Wartość π Aryabhata I jest bardzo bliskim przybliżeniem do współczesnej wartości i najdokładniejszym wśród tych starożytnych. Istnieją powody by wierzyć, że Aryabhata opracował szczególną metodę znajdowania tej wartości. Jest pokazane z wystarczającą podstawą, że Aryabhata sam jej używał i kilku późniejszych indyjskich matematyków, a nawet Arabowie ją przyjęli. Przypuszczenie, że wartość π u Aryabhata jest greckiego pochodzenia jest krytycznie zbadane i okazuje się, że nie ma podstaw. Aryabhata odkrył tę wartość niezależnie, a także zdał sobie sprawę, że π jest liczbą irracjonalną. Miał indyjskie pochodzenie, bez wątpienia, ale przewyższył wszystkich swoich poprzedników w ocenie π. Tak więc zasługa odkrycia tej dokładnej wartości π może być przypisana sławnemu matematykowi, Aryabhata I.
Spójrzymy teraz na trygonometrię zawartą w traktacie Aryabhata. Podał on tabelę sinusów obliczając przybliżone wartości w odstępach 90°24largefrac{90°}{24}normalsize2490° = 3° 45′. W tym celu wykorzystał wzór na sin(n+1)x-sinnx – sin(n + 1)x – sin(n+1)x-sinnx w postaci sinnx i sin(n-1)x – sin(n – 1)xsin(n-1)x. Wprowadził on również wersenian (wersenian = 1 – cosinus) do trygonometrii.
Inne reguły podane przez Aryabhata obejmują te dla sumowania pierwszych nnn liczb całkowitych, kwadratów tych liczb, a także ich sześcianów. Aryabhata daje wzory na obszary trójkąta i koła, które są poprawne, ale wzory na objętość kuli i ostrosłupa są uważane za błędne przez większość historyków. Na przykład Ganitanand opisuje jako „matematyczne lapsusy” fakt, że Aryabhata podaje błędną formułę V=Ah/2V = Ah/2V=Ah/2 dla objętości piramidy o wysokości h i trójkątnej podstawie o powierzchni AAA. Wydaje się również, że podaje on błędne wyrażenie na objętość kuli. Jednakże, jak to często bywa, nic nie jest tak proste jak się wydaje i Elfering (patrz na przykład ) argumentuje, że nie jest to błąd, ale raczej wynik błędnego tłumaczenia.
Odnosi się to do wersetów 6, 7 i 10 drugiej sekcji Aryabhatiya Ⓣ i w Elfering tworzy tłumaczenie, które daje poprawną odpowiedź zarówno dla objętości ostrosłupa jak i dla kuli. Jednak w swoim tłumaczeniu Elfering tłumaczy dwa terminy techniczne w sposób odmienny od znaczenia, jakie mają one zazwyczaj. Bez jakiegoś dowodu na to, że te techniczne terminy były używane z tymi różnymi znaczeniami w innych miejscach, nadal wydaje się, że Aryabhata rzeczywiście podał błędne wzory dla tych objętości.
Spojrzeliśmy na matematykę zawartą w Aryabhatiya Ⓣ, ale jest to tekst astronomiczny, więc powinniśmy powiedzieć trochę o astronomii, którą zawiera. Aryabhata podaje systematyczne traktowanie pozycji planet w przestrzeni. Podał obwód Ziemi jako 4 967 jojanów, a jej średnicę jako 15811241 581 jojanów. Ponieważ 1 jojana = 5 mil, daje to obwód 24 835 mil, co jest doskonałym przybliżeniem do obecnie akceptowanej wartości 24 902 mil. Uważał on, że pozorny obrót nieba jest spowodowany osiowym obrotem Ziemi. Ten być całkiem niezwykły widok the natura the Układ Słoneczny che opóźniony komentator móc przynosić themselves podążać i najwięcej zmieniać the tekst save Aryabhata od co myśleć być głupi błąd!
Aryabhata dawać the promień the planetarny orbita w terms of the promień the Ziemia/Słońce orbita jako zasadniczo ich okres obracanie wokoło the Słońce. On wierzy, że Księżyc i planety świecą przez odbite światło słoneczne, niewiarygodnie wierzy, że orbity planet są elipsami. Prawidłowo wyjaśnia przyczyny zaćmień Słońca i Księżyca. Indyjskie wierzenia do tego czasu były takie, że zaćmienia były powodowane przez demona zwanego Rahu. Jego wartość dla długości roku na 365 dni 6 godzin 12 minut 30 sekund jest zawyżona, ponieważ prawdziwa wartość jest mniejsza niż 365 dni 6 godzin.