Funcții complexe care sunt diferențiabile în fiecare punct al unui subansamblu deschis Ω {\displaystyle \Omega}.
din planul complex se spune că sunt holomorfe pe Ω {\displaystyle \Omega }
. În contextul analizei complexe, derivata lui f {\displaystyle f}
la z 0 {\displaystyle z_{0}}
se definește ca fiind f ′ ( z 0 ) = lim z → z 0 f ( z ) – f ( z 0 ) z – z 0 . {\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}.}
Superficial, această definiție este formal analogă cu cea a derivatei unei funcții reale. Cu toate acestea, derivatele complexe și funcțiile diferențiabile se comportă în moduri semnificativ diferite în comparație cu omologii lor reali. În special, pentru ca această limită să existe, valoarea coeficientului de diferență trebuie să se apropie de același număr complex, indiferent de modul în care ne apropiem de z 0 {\displaystyle z_{0}}.
în planul complex. În consecință, diferențiabilitatea complexă are implicații mult mai puternice decât diferențiabilitatea reală. De exemplu, funcțiile holomorfe sunt infinit diferențiabile, în timp ce existența celei de-a n-a derivate nu trebuie neapărat să implice existența celei de-a (n + 1)-lea derivate pentru funcțiile reale. În plus, toate funcțiile holomorfe îndeplinesc condiția mai puternică de analiticitate, ceea ce înseamnă că funcția este, în orice punct din domeniul său, dată local de o serie de puteri convergentă. În esență, aceasta înseamnă că funcțiile holomorfe pe Ω {\displaystyle \Omega }
pot fi aproximate arbitrar de bine prin polinoame în anumite vecinătăți ale fiecărui punct din Ω {\displaystyle \Omega }.
. Acest lucru contrastează puternic cu funcțiile reale diferențiabile; există funcții reale infinit diferențiabile care nu sunt nicăieri analitice; vezi Funcție netedă non-analitică § Funcție netedă care nu este nicăieri analitică reală.
Majoritatea funcțiilor elementare, inclusiv funcția exponențială, funcțiile trigonometrice și toate funcțiile polinomiale, extinse în mod corespunzător la argumente complexe ca funcții C → C {\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} }
, sunt holomorfe pe întregul plan complex, ceea ce le face funcții întregi, în timp ce funcțiile raționale p / q {\displaystyle p/q}
, unde p și q sunt polinoame, sunt holomorfe pe domenii care exclud punctele în care q este zero. Astfel de funcții care sunt holomorfe peste tot, cu excepția unui set de puncte izolate, sunt cunoscute sub numele de funcții meromorfe. Pe de altă parte, funcțiile z ↦ ℜ ( z ) {\displaystyle z\mapsto \Re (z)}
, z ↦ | z | {\displaystyle z\mapsto |z|}
, și z ↦ z ¯ {\displaystyle z\mapsto {\bar {z}}}.
nu sunt holomorfe nicăieri în planul complex, după cum se poate demonstra prin faptul că nu îndeplinesc condițiile Cauchy-Riemann (vezi mai jos).
O proprietate importantă a funcțiilor holomorfe este relația dintre derivatele parțiale ale componentelor lor reale și imaginare, cunoscută sub numele de condițiile Cauchy-Riemann. Dacă f : C → C {\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }
, definită prin f ( z ) = f ( x + i y ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) {\displaystyle f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)+iv(x,y)}
, unde x , y , u ( x , y ) , v ( x , y ) ∈ R {\displaystyle x,y,u(x,y),v(x,y)\în \mathbb {R} }
, este holomorfă pe o regiune Ω {\displaystyle \Omega }
, atunci ( ∂ f / ∂ z ¯ ) ( z 0 ) = 0 {\displaystyle (\partial f/\partial {\bar {z}})(z_{0})=0}
trebuie să fie valabil pentru toate z 0 ∈ Ω {\displaystyle z_{0}\în \Omega }
. Aici, operatorul diferențial ∂ / ∂ z ¯ {\displaystyle \partial /\partial {\bar {z}}}
este definit ca ( 1 / 2 ) ( ∂ / ∂ x + i ∂ / ∂ / ∂ y ) {\displaystyle (1/2)(\partial /\partial x+i\partial /\partial y)}
. În termeni de părți reale și imaginare ale funcției, u și v, aceasta este echivalentă cu perechea de ecuații u x = v y {\displaystyle u_{x}=v_{y}}.
și u y = – v x {\displaystyle u_{y}=-v_{x}}
, unde indicele indică diferențierea parțială. Cu toate acestea, condițiile Cauchy-Riemann nu caracterizează funcțiile holomorfe, fără condiții suplimentare de continuitate (a se vedea teorema Looman-Menchoff).
Funcțiile holomorfe prezintă unele caracteristici remarcabile. De exemplu, teorema lui Picard afirmă că domeniul unei funcții întregi poate lua doar trei forme posibile: C {\displaystyle \mathbb {C} }
, C ∖ { z 0 } {\displaystyle \mathbb {C} \smallsetminus \{z_{0}\}}
, sau { z 0 } {\displaystyle \{z_{0}\}}
pentru un oarecare z 0 ∈ C {\displaystyle z_{0}\ în \mathbb {C} }
. Cu alte cuvinte, dacă două numere complexe distincte z {\displaystyle z}
și w {\displaystyle w}
nu se află în intervalul unei funcții întregi f {\displaystyle f}
, atunci f {\displaystyle f}
este o funcție constantă. Mai mult, o funcție holomorfă pe un ansamblu deschis conectat este determinată de restricția sa la orice subansamblu deschis nevid.