Biografie
Árjabhata je také znám jako Árjabhata I., aby se odlišil od pozdějšího matematika stejného jména, který žil asi o 400 let později. Al-Birúní nepomohl v pochopení Árjabhatova života, neboť se zřejmě domníval, že ve stejné době žili dva různí matematici jménem Árjabhata. Vytvořil tak zmatek dvou různých Árjabhatů, který se podařilo objasnit až v roce 1926, kdy B Datta ukázal, že al-Birúního dva Árjabhatové jsou jedna a tatáž osoba.
Známe rok Árjabhatova narození, protože nám říká, že mu bylo třiadvacet let, když napsal Árjabhatíju Ⓣ, kterou dokončil v roce 499.
. Jako místo Árjabhatova narození jsme uvedli Kusumapuru, o níž se předpokládá, že leží poblíž Pataliputry (která byla v roce 1541 znovu založena jako Patna v Biháru), ale to není zdaleka jisté, stejně jako ani samotná poloha Kusumapury. Jak píše Parameswaran v :-
… nelze vynést žádný konečný verdikt ohledně místa Asmakajanapády a Kusumapury.
Víme, že Árjabhata napsal Árjabhatíju Ⓣ v Kusumapuře v době, kdy Pataliputra byla hlavním městem Guptovy říše a významným centrem vzdělanosti, ale historici navrhovali jako místo jeho narození řadu jiných míst. Někteří se domnívají, že se narodil v jižní Indii, snad v Kérale, Tamilnádu nebo Andhrapradéši, zatímco jiní předpokládají, že se narodil na severovýchodě Indie, snad v Bengálsku. V se tvrdí, že Árjabhata se narodil v oblasti Asmaka dynastie Vakataka v jižní Indii, ačkoli autor připustil, že většinu života prožil v Kusumapuře v Guptské říši na severu. Uvádění Asmaky jako Árjabhatova rodiště se však opírá o poznámku, kterou učinil Nilakantha Somajádží na konci 15. století. Většina historiků se nyní domnívá, že Nilakantha zaměnil Árjabhátu za Bhaskara I., který byl pozdějším komentátorem Árjabhátije Ⓣ.
Měli bychom si uvědomit, že Kusumapura se stala jedním ze dvou hlavních matematických center Indie, tím druhým byl Udždžain. Obě leží na severu, ale Kusumapura (předpokládáme, že je blízko Pataliputry) leží na řece Ganze a je severněji položená. Pataliputra, která byla v době Árjabhaty hlavním městem Guptovy říše, byla centrem komunikační sítě, díky níž se do ní snadno dostávala vzdělanost z jiných částí světa a díky níž se matematické a astronomické pokroky Árjabhaty a jeho školy dostaly do celé Indie a nakonec i do islámského světa.
Co se týče textů napsaných Árjabhatou, dochoval se pouze jeden. Jha v něm však tvrdí:
… Árjabhata byl autorem nejméně tří astronomických textů a napsal také několik volných strof.
Dochovaným textem je Árjabhatovo mistrovské dílo Árjabhatíja Ⓣ, což je malý astronomický traktát napsaný ve 118 verších, který podává souhrn dosavadní hinduistické matematiky. Jeho matematická část obsahuje 33 veršů uvádějících 66 matematických pravidel bez důkazu. Árjabhátija Ⓣ obsahuje úvod o 10 verších, následuje oddíl o matematice s, jak jsme právě zmínili, 33 verši, pak oddíl o 25 verších o počítání času a planetárních modelech a poslední oddíl o 50 verších je věnován sféře a zatměním.
S tímto uspořádáním je potíž, kterou podrobně rozebírá van der Waerden v . Van der Waerden naznačuje, že ve skutečnosti byl desetiveršový úvod napsán později než ostatní tři oddíly. Jedním z důvodů, proč se domnívá, že obě části nebyly zamýšleny jako celek, je to, že první oddíl má jiné metrum než zbývající tři oddíly. Tím však problémy nekončí. Řekli jsme, že první oddíl má deset veršů, a Aryabhata skutečně oddíl nazývá Soubor deseti strof giti. Ve skutečnosti však obsahuje jedenáct giti strof a dvě arija strofy. Van der Waerden předpokládá, že byly přidány tři verše, a ve zbývajících oddílech identifikuje malý počet veršů, které podle něj rovněž přidal člen Árjabhatovy školy v Kusumapuře.
Matematická část Árjabhatovy Ⓣ zahrnuje aritmetiku, algebru, rovinnou trigonometrii a sférickou trigonometrii. Obsahuje také pokračující zlomky, kvadratické rovnice, součty mocninných řad a tabulku sinusů. Podívejme se na některé z nich trochu podrobněji.
Nejprve se podíváme na systém pro znázornění čísel, který Árjabhata vymyslel a použil v Árjabhatii Ⓣ. Spočívá v přiřazení číselných hodnot 33 souhláskám indické abecedy, které představují 1, 2, 3, … , 25, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100. Vyšší čísla se označují těmito souhláskami následovanými samohláskou, čímž se získá 100, 10000, ….. Ve skutečnosti systém umožňuje, aby čísla až do 101810^{18}1018 byla reprezentována abecedním zápisem. Ifrah in tvrdí, že Árjabhata znal také číselné symboly a systém místopisných hodnot. Píše v :-
… je velmi pravděpodobné, že Árjabhata znal znak pro nulu a číslice soustavy místopisných hodnot. Tato domněnka se zakládá na následujících dvou skutečnostech: za prvé, vynález jeho abecedního systému počítání by nebyl možný bez nuly nebo soustavy místopisných hodnot; za druhé, provádí výpočty odmocnin a odmocnin, které jsou nemožné, pokud dotyčná čísla nejsou zapsána podle soustavy místopisných hodnot a nuly.
Dále se krátce podíváme na některé algebry obsažené v Árjábhatíji Ⓣ. Tato práce je první, o níž víme, že zkoumá celočíselná řešení rovnic tvaru by=ax+cby = ax + cby=ax+c a by=ax-cby = ax – cby=ax-c, kde a,b,ca, b, ca,b,c jsou celá čísla. Problém vznikl při studiu problému v astronomii, kterým je určování period planet. Aryabhata používá k řešení problémů tohoto typu metodu kuttaka. Slovo kuttaka znamená „rozmělnit“ a metoda spočívala v rozdělení problému na nové problémy, kde se koeficienty s každým krokem zmenšovaly a zmenšovaly. Metoda zde v podstatě spočívá v použití euklidovského algoritmu k nalezení největšího společného činitele aaa a bbb, ale souvisí také s pokračujícími zlomky.
Aryabhata podal přesnou aproximaci pro π. V Aryabhatii Ⓣ napsal následující:-
Přičtěte ke stovce čtyři, vynásobte osmi a pak přičtěte šedesát dva tisíc. výsledek je přibližně obvod kruhu o průměru dvacet tisíc. Tímto pravidlem je dán vztah obvodu k průměru.
Dává to π=6283220000=3,1416\pi = \large\frac{62832}{20000}\normální velikost = 3,1416π=2000062832=3,1416, což je překvapivě přesná hodnota. Ve skutečnosti je π = 3,14159265 s přesností na 8 míst. Pokud je získání takto přesné hodnoty překvapivé, je možná ještě překvapivější, že Aryabhata svou přesnou hodnotu π nepoužívá, ale raději v praxi používá √10 = 3,1622. Aryabhata nevysvětluje, jak tuto přesnou hodnotu zjistil, ale například Ahmad považuje tuto hodnotu za aproximaci poloviny obvodu pravidelného mnohoúhelníku o 256 stranách vepsaného do jednotkového kruhu. V Bruins však ukazuje, že tento výsledek nelze získat ze zdvojnásobení počtu stran. Další zajímavý článek pojednávající o této přesné hodnotě π od Árjabhaty je ten, kde Jha píše:-
Hodnota π Árjabhaty I. je velmi blízkou aproximací moderní hodnoty a nejpřesnější z těch starověkých. Existují důvody domnívat se, že Árjabhata vymyslel zvláštní metodu pro zjištění této hodnoty. Je dostatečně zdůvodněno, že ji používal sám Árjabhata a že ji převzalo několik pozdějších indických matematiků a dokonce i Arabové. Domněnka, že Árjábhatova hodnota π je řeckého původu, je kriticky prozkoumána a je shledána neopodstatněnou. Aryabhata tuto hodnotu objevil nezávisle a také si uvědomil, že π je iracionální číslo. Měl nepochybně indický původ, ale ve vyhodnocování π předčil všechny své předchůdce. Zásluhu na objevení této přesné hodnoty π lze tedy připsat slavnému matematikovi Árjabhatovi I.
Nyní se podíváme na trigonometrii obsaženou v Árjabhatově traktátu. Uvedl tabulku sinusů, v níž vypočítal přibližné hodnoty v intervalech 90°24\large\frac{90°}{24}\normalsize2490° = 3° 45′. K tomu použil vzorec pro sin(n+1)x-sinnx\sin(n + 1)x – \sin nxsin(n+1)x-sinnx ve smyslu sinnx\sin nxsinnx a sin(n-1)x\sin (n – 1)xsin(n-1)x. Do trigonometrie zavedl také versinus (versin = 1 – cosin).
Další pravidla, která Aryabhata uvedl, zahrnují pravidla pro sčítání prvních nnn celých čísel, čtverců těchto celých čísel a také jejich krychlí. Árjabhata uvádí vzorce pro plochy trojúhelníku a kruhu, které jsou správné, ale vzorce pro objemy koule a jehlanu jsou podle většiny historiků chybné. Například Ganitanand v popisuje jako „matematický lapsus“ skutečnost, že Árjabhata uvádí nesprávný vzorec V=Ah/2V = Ah/2V=Ah/2 pro objem jehlanu o výšce h a trojúhelníkové základně o ploše AAA. Zdá se také, že uvádí nesprávný výraz pro objem koule. Jak už to však bývá, nic není tak jednoduché, jak se zdá, a Elfering (viz např. ) tvrdí, že se nejedná o chybu, ale spíše o důsledek nesprávného překladu.
Ten se týká veršů 6, 7 a 10 druhé části Árjabhátije Ⓣ a u Elferinga přináší překlad, který dává správnou odpověď jak pro objem pyramidy, tak pro kouli. Elfering však ve svém překladu překládá dva technické termíny jiným způsobem, než jaký mají obvykle. Bez nějakého podpůrného důkazu, že tyto technické termíny byly na jiných místech používány v těchto odlišných významech, by se stále zdálo, že Árjabháta skutečně uvedl nesprávné vzorce pro tyto objemy.
Podívali jsme se na matematiku obsaženou v Árjabhátii Ⓣ ale jedná se o astronomický text, takže bychom si měli říci něco málo ohledně astronomie, kterou obsahuje. Árjabháta podává systematické pojednání o postavení planet v prostoru. Obvod Země udává jako 4 967 jódžanů a její průměr jako 15811241 581\large\frac{1}{24}\normalsize1581241 jódžanů. Vzhledem k tomu, že 1 jojana = 5 mil, je obvod 24 835 mil, což je výborná aproximace k dnes uznávané hodnotě 24 902 mil. Domníval se, že zdánlivá rotace nebes je způsobena osovou rotací Země. To je docela pozoruhodný názor na povahu sluneční soustavy, kterým se pozdější komentátoři nedokázali přimět řídit a většina z nich text změnila, aby Árjabhátu uchránila od podle nich hloupých chyb!“
Árjabhata uvádí poloměry planetárních oběžných drah v poměru k poloměru oběžné dráhy Země/Slunce jako v podstatě jejich periody otáčení kolem Slunce. Je přesvědčen, že Měsíc a planety svítí odraženým slunečním světlem, neuvěřitelně se domnívá, že dráhy planet jsou elipsy. Správně vysvětluje příčiny zatmění Slunce a Měsíce. Dosavadní indická víra byla, že zatmění způsobuje démon zvaný Rahu. Jeho hodnota délky roku 365 dní 6 hodin 12 minut 30 sekund je nadhodnocená, protože skutečná hodnota je menší než 365 dní 6 hodin.
.