Chi-kvadrat-test for uafhængighed

Test for uafhængighed

Hypotesetest, som vi er stødt på tidligere i bogen, havde at gøre med, hvordan de numeriske værdier af to populationsparametre sammenlignes. I dette underafsnit vil vi undersøge hypoteser, der har at gøre med, om to tilfældige variabler tager deres værdier uafhængigt af hinanden eller ej, eller om værdien af den ene har en sammenhæng med værdien af den anden. Hypoteserne vil således blive udtrykt i ord og ikke i matematiske symboler. Vi bygger diskussionen op omkring følgende eksempel:

Der findes en teori om, at kønnet på en baby i livmoderen hænger sammen med babyens hjertefrekvens: babypiger har tendens til at have en højere hjertefrekvens. Lad os antage, at vi ønsker at teste denne teori. Vi undersøger 40 babyers hjerterytmeoptegnelser, der er taget i forbindelse med mødrenes sidste prænatale kontrol før fødslen, og for hver af disse 40 tilfældigt udvalgte optegnelser beregner vi værdierne af to tilfældige mål: 1) køn og 2) hjertefrekvens. I denne sammenhæng kaldes disse to tilfældige mål ofte faktorer En variabel med flere kvalitative niveauer… Da bevisbyrden er, at hjertefrekvens og køn hænger sammen, ikke at de ikke er uafhængige, kan problemet med at teste teorien om babyens køn og hjertefrekvens formuleres som en test af følgende hypoteser:

H0:Babyens køn og babyens hjertefrekvens er uafhængigevs. Ha:Babykøn og babyhjertefrekvens er ikke uafhængige

Faktoren køn har to naturlige kategorier eller niveauer: dreng og pige. Vi opdeler den anden faktor, hjerterytme, i to niveauer, lav og høj, ved at vælge en vis hjerterytme, f.eks. 145 slag pr. minut, som grænsen mellem dem. En puls under 145 slag pr. minut betragtes som lav og 145 slag pr. minut og derover som høj. De 40 registreringer giver anledning til en 2 × 2 kontingenstabel. Ved at lægge rækketotaler, kolonnetotaler og en samlet totalsum sammen får vi den tabel, der er vist som tabel 11.1 “Baby Gender and Heart Rate”. De fire poster med fed skrift er optællinger af observationer fra stikprøven på n = 40. Der var 11 piger med lav hjerterytme, 17 drenge med lav hjerterytme osv. De udgør kernen i den udvidede tabel.

I analogi med det faktum, at sandsynligheden for uafhængige hændelser er produktet af sandsynlighederne for hver enkelt hændelse, hvis hjertefrekvens og køn var uafhængige, ville vi forvente, at antallet i hver kernecelle ville være tæt på produktet af rækkens total R og kolonnens total C for den række og kolonne, der indeholder den, divideret med stikprøvens størrelse n. Hvis vi betegner et sådant forventet antal observationer E, er disse fire forventede værdier:

• 1. række og 1. kolonne: E=(R×C)∕n=18×28∕40=12,6
• 1. række og 2. kolonne: E=(R×C)∕n=18×28∕40=12,6
• 1: E=(R×C)∕n=18×12∕40=5,4
• 2. række og 1. kolonne: E=(R×C)∕n=18×12∕40=5,4
• 2: E=(R×C)∕n=22×28∕40=15,4
• 2. række og 2. kolonne: E=(R×C)∕n=22×28∕40=15,4
• 2: E=(R×C)∕n=22×12∕40=6,6

Vi opdaterer tabel 11.1 “Babykøn og hjertefrekvens” ved at placere hver forventet værdi i den tilsvarende kernecelle, lige under den observerede værdi i cellen. Dette giver den opdaterede tabel Tabel 11.2 “Opdateret babykøn og hjertefrekvens”.

Et mål for, hvor meget dataene afviger fra det, vi ville forvente at se, hvis faktorerne virkelig var uafhængige, er summen af kvadraterne af forskellen på tallene i hver kernecelle, eller, ved at standardisere ved at dividere hvert kvadrat med det forventede antal i cellen, summen Σ(O-E)2∕E. Vi ville kun forkaste nulhypotesen om, at faktorerne er uafhængige, hvis dette tal er stort, så testen er højresvinget. I dette eksempel har den tilfældige variabel Σ(O-E)2∕E chi-kvadratfordelingen med én frihedsgrad. Hvis vi fra starten havde besluttet at teste på 10 % signifikansniveau, ville den kritiske værdi, der definerer afvisningsområdet, ifølge figur 12.4 “Critical Values of Chi-Square Distributions” være χα2=χ0,102=2,706, således at afvisningsområdet ville være intervallet [2,706,∞). Når vi beregner værdien af den standardiserede teststatistik, får vi

Σ(O-E)2E=(11-12,6)212,6+(7-5,4)25,4+(17-15,4)215,4+(5-6,6)26,6=1,231

Da 1,231 < 2,706, er beslutningen ikke at forkaste H0. Se figur 11.3 “Forudsigelse af babyens køn”. Dataene giver ikke tilstrækkeligt bevis på 10 % signifikansniveau til at konkludere, at hjertefrekvens og køn hænger sammen.

Med dette specifikke eksempel i baghovedet skal vi nu vende os til den generelle situation. I den generelle situation, hvor man tester uafhængigheden af to faktorer, kald dem faktor 1 og faktor 2, er de hypoteser, der skal testes, følgende

H0:De to faktorer er uafhængigevs. Ha:De to faktorer er ikke uafhængige

Som i eksemplet er hver faktor opdelt i et antal kategorier eller niveauer. Disse kan opstå naturligt, som i opdelingen dreng-pige af køn, eller noget arbitrært, som i opdelingen høj-lav af hjertefrekvens. Lad os antage, at faktor 1 har I-niveauer og faktor 2 har J-niveauer. Så giver oplysningerne fra en tilfældig stikprøve anledning til en generel I × J-kontingenstabel, som med rækketotaler, kolonnetotaler og en samlet totalsum ville se ud som vist i tabel 11.3 “Generel kontingenstabel”. Hver celle kan mærkes med et par indeks (i,j). Oij står for det observerede antal observationer i cellen i række i og kolonne j, Ri for den i-te samlede række og Cj for den j-te samlede kolonne. For at forenkle notationen vil vi droppe indeksene, så tabel 11.3 “Generel kontingenstabel” bliver til tabel 11.4 “Forenklet generel kontingenstabel”. Det er dog vigtigt at holde sig for øje, at Os, Rs og Cs, selv om de betegnes med de samme symboler, i virkeligheden er forskellige tal.

Som i eksemplet, for hver kernecelle i tabellen beregner vi, hvad der ville være det forventede antal E af observationer, hvis de to faktorer var uafhængige. E beregnes for hver kernecelle (hver celle med et O i) i tabel 11.4 “Simplified General Contingency Table” ved hjælp af den regel, der blev anvendt i eksemplet:

Når det forventede antal er beregnet for hver celle, opdateres tabel 11.4 “Forenklet generel kontingenstabel” til tabel 11.5 “Opdateret generel kontingenstabel” ved at indsætte den beregnede værdi af E i hver enkelt kernecelle.

Her er teststatistikken for den generelle hypotese baseret på tabel 11.5 “Opdateret generel kontingenstabel”, sammen med betingelserne om, at den følger en chi-kvadratfordeling.

De samme procedurer i fem trin, enten den kritiske værditilgang eller p-værditilgangen, som blev introduceret i afsnit 8.1 “Elementerne i hypotesetestning” og afsnit 8.3 “Den observerede signifikans af en test” i kapitel 8 “Test af hypoteser”, anvendes til at udføre testen, som altid er højresvingende.

En dataprøve er sorteret i en 3 × 2 kontingenstabel baseret på to faktorer, hvoraf den ene har tre niveauer og den anden har to niveauer.

		Faktor 1
		Niveau 1	Niveau 2	Række i alt
Faktor 2	Niveau 1	20	10	R	R
	Niveau 2	15	5	R
	Niveau 3	10	20	R	R
Spaltsum		C	C	C	n

1. Find kolonnesummen, rækketotalerne og den samlede totalsum, n, for tabellen.
2. Find det forventede antal E af observationer for hver celle ud fra den antagelse, at de to faktorer er uafhængige (dvs. brug blot formlen E=(R×C)∕n).
3. Find værdien af chi-square-teststatistikken χ2.
4. Find antallet af frihedsgrader for chi-kvadrat-teststatistikken.

Anvendelser

1. En børnepsykolog mener, at børn klarer sig bedre til prøver, når de får en opfattet valgfrihed. For at teste denne overbevisning udførte psykologen et eksperiment, hvor 200 børn i tredje klasse blev tilfældigt fordelt på to grupper, A og B. Hvert barn fik den samme enkle logiske test. I gruppe B fik hvert barn imidlertid frihed til at vælge et teksthæfte blandt mange med forskellige tegninger på forsiderne. Hvert barns præstation blev vurderet som meget god, god og rimelig. Resultaterne er opsummeret i tabellen. Test med et signifikansniveau på 5 %, om der er tilstrækkelig dokumentation i dataene til at understøtte psykologens overbevisning.

   		Gruppe
   		A	B
   Performance	Very Good	32	29
   	God	55	61
   	Middelmådig	10	13

2. Med hensyn til konkurrencer i forbindelse med vinsmagning, mange eksperter hævder, at det første glas vin, der serveres, sætter en referencesmag, og at en anden referencevin kan ændre den relative placering af de andre vine i konkurrencen. For at teste denne påstand blev der serveret tre vine, A, B og C, ved en vinsmagning. Hver person fik serveret et enkelt glas af hver vin, men i forskellige rækkefølger for de forskellige gæster. Ved afslutningen blev hver person bedt om at nævne den bedste af de tre vine. Der var 172 personer til stede ved arrangementet, og deres bedste valg er angivet i tabellen. Test med et signifikansniveau på 1 %, om der er tilstrækkelig dokumentation i dataene til at understøtte påstanden om, at vineksperternes præference er afhængig af den først serverede vin.

   		Topvalg
   		A	B	B	C
   Første glas	A	12	31	31	27
   	B	15	40	21
   	C	C	10	9	7

3. Er ved at blive efterladt-håndleddet arveligt? For at besvare dette spørgsmål udvælges 250 voksne tilfældigt, og deres og deres forældres håndledighed noteres. Resultaterne er opsummeret i den medfølgende tabel. Test med et signifikansniveau på 1 %, om der er tilstrækkeligt belæg i dataene til at konkludere, at der er et arveligt element i håndledighed.

   		Antal af forældre venstrehåndedeHanded
   		0	1	2
   Handedness	Links	8	10	12
   	Højre	178	21	21

4. Nogle genetikere hævder, at generne, der bestemmer venstre-venstrehåndethed også styrer udviklingen af sprogcentrene i hjernen. Hvis denne påstand er sand, ville det være rimeligt at forvente, at venstrehåndede mennesker har en tendens til at have stærkere sproglige evner. I en undersøgelse, der skulle belyse denne påstand, blev der tilfældigt udvalgt 807 studerende, som tog Graduate Record Examination (GRE). Deres resultater på den sproglige del af eksamen blev inddelt i tre kategorier: lav, gennemsnitlig og høj, og deres håndledighed blev også noteret. Resultaterne er angivet i den medfølgende tabel. Test, på et signifikansniveau på 5 %, om der er tilstrækkelig dokumentation i dataene til at konkludere, at venstrehåndede personer har tendens til at have stærkere sproglige evner.

   		GRE English Scores
   		Low	Average	Høj
   Håndfærdighed	Venstre	18	18	40	22
   	Højre	201	360	166

5. Det er en generel opfattelse, at børn, der vokser op i stabile familier, har en tendens til at klare sig godt i skolen. For at verificere en sådan opfattelse undersøgte en samfundsvidenskabelig forsker 290 tilfældigt udvalgte elevers journaler i en offentlig gymnasieskole og noterede hver enkelt elevs familiestruktur og akademiske status fire år efter, at de var begyndt på gymnasiet. Dataene blev derefter sorteret i en 2 × 3 kontingenstabel med to faktorer. Faktor 1 har to niveauer: “dimitteret” og “ikke dimitteret”. Faktor 2 har tre niveauer: ingen forældre, en forælder og to forældre. Resultaterne fremgår af den vedlagte tabel. Test på et signifikansniveau på 1 %, om der er tilstrækkeligt bevis i dataene til at konkludere, at familiestrukturen har betydning for elevernes skolepræstationer.

   		Akademisk status
   		Afgangseksamen	Afgangseksamen ikke
   Familie	Ingen forældre	18	18	31
   	En forælder	101	44
   	To forældre	70	26

6. En stor mellemskoleadministrator ønsker at bruge kendissernes indflydelse til at tilskynde eleverne til at træffe sundere valg i skolens cafeteria. Cafeteriet ligger i midten af et åbent område. Hver dag ved frokosttid får eleverne deres frokost og en drink i tre separate rækker, der fører til tre separate serveringsstationer. Som et eksperiment har skolelederen hængt en plakat op med en populær teenagepopstjerne, der drikker mælk ved hvert af de tre områder, hvor der serveres drikkevarer, bortset fra at mælken på plakaten er forskellig på hvert sted: et sted er der hvid mælk, et sted er der pink mælk med jordbærsmag, og et sted er der chokolademælk. Efter den første dag af forsøget noterede administratoren elevernes mælkevalg separat for de tre linjer. Dataene er anført i den medfølgende tabel. Test med et signifikansniveau på 1 %, om der er tilstrækkelig dokumentation i dataene til at konkludere, at plakaterne havde en vis indflydelse på elevernes valg af drikkevarer.

   	Studenternes valg
   	Regulært	Strawberry	Strawberry	Chocolate
   Plakatvalg
   Regulært	38	28	40
   Strawberry	18	18	51	24
   Chokolade	32	32	32	53

Large Datasæt Øvelse

1. Large Datasæt 8 indeholder resultatet af en undersøgelse af 300 tilfældigt udvalgte voksne, der regelmæssigt går i biografen. For hver person blev køn og den foretrukne type film registreret. Test med et signifikansniveau på 5 %, om der er tilstrækkelig dokumentation i dataene til at konkludere, at faktorerne “køn” og “foretrukken type film” er afhængige.

   http://www.gone.2012books.lardbucket.org/sites/all/files/data8.xls