Pruebas de chi-cuadrado para la independencia

Tabla 11.1 Género del bebé y frecuencia cardíaca

Tabla 11.2 Género del bebé y frecuencia cardíaca actualizados

Figura 11.3 Predicción del género del bebé

Tabla 11.3 Tabla general de contingencias

Tabla 11.4 Tabla de contingencia general simplificada

donde R es el total de filas y C es el total de columnas correspondiente a la celda, y n es el tamaño de la muestra.

Tabla 11.5 Tabla de contingencia general actualizada

Estadística de prueba para probar la independencia de dos factores

χ2=Σ(O-E)2E

donde la suma es sobre todas las celdas centrales de la tabla.

Si

1. los dos factores de estudio son independientes, y
2. el recuento observado O de cada celda de la tabla 11.5 «Tabla de contingencia general actualizada» es al menos 5,

entonces χ2 sigue aproximadamente una distribución chi-cuadrado con df=(I-1)×(J-1) grados de libertad.

Ejemplo 1

Un investigador desea investigar si las puntuaciones de los estudiantes en un examen de acceso a la universidad (CEE) tienen algún poder indicativo del futuro rendimiento universitario medido por el GPA. En otras palabras, desea investigar si los factores CEE y GPA son independientes o no. Selecciona aleatoriamente a n = 100 estudiantes de una universidad y anota la puntuación de cada estudiante en el examen de ingreso y su media de notas al final del segundo año. Divide las puntuaciones de la prueba de acceso en dos niveles y las medias de notas en tres niveles. Ordenando los datos según estas divisiones, forma la tabla de contingencia que se muestra en la Tabla 11.6 «Tabla de contingencia CEE versus GPA», en la que ya se han calculado los totales de las filas y columnas.

Test, al nivel de significación del 1%, si estos datos proporcionan pruebas suficientes para concluir que las puntuaciones del CEE indican los futuros niveles de rendimiento de los estudiantes universitarios de primer año, medidos por el GPA.

Solución:

Realizamos la prueba utilizando el enfoque del valor crítico, siguiendo el método habitual de cinco pasos descrito al final de la sección 8.1 «Los elementos de la prueba de hipótesis» en el capítulo 8 «Prueba de hipótesis».

• Paso 1. Las hipótesis son

  H0:CEE y GPA son factores independientesvs. Ha:CEE y GPA no son factores independientes

• Paso 2. La distribución es chi-cuadrado.

• Paso 3. Para calcular el valor del estadístico de la prueba debemos calcular primero el número esperado para cada una de las seis celdas del núcleo (las que tienen entradas en negrita):

  • 1ª fila y 1ª columna: E=(R×C)∕n=41×52∕100=21,32
  • 1ª fila y 2ª columna: E=(R×C)∕n=36×52∕100=18,72
  • 1ª fila y 3ª columna: E=(R×C)∕n=23×52∕100=11,96
  • Segunda fila y 1ª columna: E=(R×C)∕n=41×48∕100=19,68
  • Segunda fila y 2ª columna: E=(R×C)∕n=36×48∕100=17,28
  • Segunda fila y 3ª columna: E=(R×C)∕n=23×48∕100=11,04

  La Tabla 11.6 «Tabla de Contingencia CEE versus GPA» se actualiza a la Tabla 11.7 «Tabla de Contingencia CEE versus GPA actualizada».

  Tabla 11.7 Tabla de contingencia actualizada de CEE versus GPA

  		GPA
  		<2,7	2.7 a 3,2	>3,2	Total de filas
  CEE	1800	O=35E=21.32	O=12E=18,72	O=5E=11,96	R = 52
  	≥1800	O=6E=19,68	O=24E=17,28	O=18E=11.04	R = 48
  Total de la columna		C = 41	C = 36	C = 23	n = 100

  La estadística de la prueba es

  χ2=Σ(O-E)2E=(35-21.32)221.32+(12−18.72)218.72+(5−11.96)211.96+(6−19.68)219.68+(24−17.28)217.28+(18−11.04)211.04=31.75

• Step 4. Como el factor CEE tiene dos niveles y el factor GPA tiene tres, I = 2 y J = 3. Por tanto, la estadística de la prueba sigue la distribución chi-cuadrado con df=(2-1)×(3-1)=2 grados de libertad.

  Como la prueba es de cola derecha, el valor crítico es χ0,012. Leyendo la figura 12.4 «Valores críticos de las distribuciones chi-cuadrado», χ0,012=9,210, por lo que la región de rechazo es [9,210,∞).

• Paso 5. Como 31,75 > 9,21 la decisión es rechazar la hipótesis nula. Véase la figura 11.4. Los datos proporcionan evidencia suficiente, al nivel de significación del 1%, para concluir que la puntuación del CEE y el GPA no son independientes: la puntuación del examen de ingreso tiene poder predictivo.

Valores críticos de una distribución chi-cuadrado con grados de libertad df se encuentran en la Figura 12.4 «Valores críticos de las distribuciones chi-cuadrado».

Ejercicios

Básico

1. Busque χ0,012 para cada uno de los siguientes números de grados de libertad.

   1. df=5
   2. df=11
   3. df=25

2. Encuentra χ0,052 para cada uno de los siguientes números de grados de libertad.

   1. df=6
   2. df=12
   3. df=30

3. Encuentra χ0.102 para cada uno de los siguientes números de grados de libertad.

   1. df=6
   2. df=12
   3. df=30

4. Encuentra χ0.012 para cada uno de los siguientes números de grados de libertad.

   1. df=7
   2. df=10
   3. df=20

5. Para df=7 y α=0.05, hallar

   1. χα2
   2. χα22

6. Para df=17 y α=0.01, halle

   1. χα2
   2. χα22

7. Una muestra de datos se ordena en una tabla de contingencia 2 × 2 basada en dos factores, cada uno de los cuales tiene dos niveles.

   		Factor 1
   		Nivel 1	Nivel 2	Total de filas
   Factor 2	Nivel 1	20	10	R
   	Nivel 2	15	5	R
   Total de columna		C	C	n

   1. Encuentra los totales de columna, los totales de las filas y el total general, n, de la tabla.
   2. Hallar el número esperado E de observaciones para cada celda basándose en la suposición de que los dos factores son independientes (es decir, sólo hay que utilizar la fórmula E=(R×C)∕n).
   3. Hallar el valor del estadístico de la prueba de chi-cuadrado χ2.
   4. Hallar el número de grados de libertad del estadístico de la prueba chi-cuadrado.

8. Una muestra de datos se ordena en una tabla de contingencia de 3 × 2 basada en dos factores, uno de los cuales tiene tres niveles y el otro tiene dos niveles.

   		Factor 1
   		Nivel 1	Nivel 2	Total de filas
   Factor 2	Nivel 1	20	10	R
   	Nivel 2	15	5	R
   	Nivel 3	10	20	R
   Total de columna		C	C	n

   1. Encuentra los totales de columna, los totales de las filas y el total general, n, de la tabla.
   2. Hallar el número esperado E de observaciones para cada celda basándose en la suposición de que los dos factores son independientes (es decir, sólo hay que utilizar la fórmula E=(R×C)∕n).
   3. Hallar el valor del estadístico de la prueba de chi-cuadrado χ2.
   4. Encuentre el número de grados de libertad del estadístico de la prueba chi-cuadrado.

Aplicaciones

1. Un psicólogo infantil cree que los niños rinden mejor en los exámenes cuando se les da una libertad de elección percibida. Para comprobar esta creencia, el psicólogo llevó a cabo un experimento en el que 200 niños de tercer grado fueron asignados al azar a dos grupos, A y B. A cada niño se le hizo la misma prueba de lógica simple. Sin embargo, en el grupo B, se dio a cada niño la libertad de elegir un folleto de texto entre muchos con diversos dibujos en las cubiertas. El rendimiento de cada niño se calificó como Muy bueno, Bueno y Regular. Los resultados se resumen en la tabla que se presenta. Pruebe, al nivel de significación del 5%, si hay suficiente evidencia en los datos para apoyar la creencia del psicólogo.

   		Grupo
   		A	B
   Rendimiento	Muy Bueno	32	29
   	Buena	55	61
   	Justa	10	13

2. En cuanto a los concursos de cata de vinos, muchos expertos afirman que la primera copa de vino servida establece un sabor de referencia y que un vino de referencia diferente puede alterar la clasificación relativa de los demás vinos en competición. Para comprobar esta afirmación, se sirvieron tres vinos, A, B y C, en una cata de vinos. A cada persona se le sirvió una sola copa de cada vino, pero en diferentes órdenes para diferentes invitados. Al final, se pidió a cada persona que nombrara el mejor de los tres. Ciento setenta y dos personas asistieron al evento y sus mejores elecciones se recogen en la tabla proporcionada. Pruebe, al nivel de significación del 1%, si hay suficiente evidencia en los datos para apoyar la afirmación de que la preferencia de los expertos en vino depende del primer vino servido.

   		Elección superior
   		A	B	C
   Primera copa	A	12	31	27
   	B	15	40	21
   	C	10	9	7

3. ¿Ser zurdohereditario? Para responder a esta pregunta, se seleccionan al azar 250 adultos y se anota su lateralidad y la de sus padres. Los resultados se resumen en la tabla que se presenta. Compruebe, con un nivel de significación del 1%, si hay pruebas suficientes en los datos para concluir que existe un elemento hereditario en la lateralidad.

   		Número de padres zurdosHanded
   		0	1	2
   Handedness	Left	8	10	12
   	Derecha	178	21	21

4. Algunos genetistas afirman que los genes que determinan la zurderazurdos también gobiernan el desarrollo de los centros del lenguaje del cerebro. Si esta afirmación es cierta, sería razonable esperar que los zurdos tiendan a tener mayores capacidades lingüísticas. En un estudio diseñado para comprobar esta afirmación se seleccionaron al azar 807 estudiantes que se presentaron al Graduate Record Examination (GRE). Sus puntuaciones en la parte lingüística del examen se clasificaron en tres categorías: baja, media y alta, y también se anotó su lateralidad. Los resultados se recogen en la tabla adjunta. Compruebe, con un nivel de significación del 5%, si hay pruebas suficientes en los datos para concluir que los zurdos tienden a tener mayores capacidades lingüísticas.

   		Puntajes de inglés del GRE
   		Bajo	Promedio	Alta
   Derecha	Izquierda	18	40	22
   	Derecha	201	360	166

5. Se cree generalmente que los niños criados en familias estables tienden a tener un buen rendimiento escolar. Para verificar tal creencia, un científico social examinó los expedientes de 290 estudiantes seleccionados al azar en un instituto público y anotó la estructura familiar y la situación académica de cada uno de ellos cuatro años después de entrar en el instituto. A continuación, los datos se ordenaron en una tabla de contingencia de 2 × 3 con dos factores. El factor 1 tiene dos niveles: graduado y no graduado. El factor 2 tiene tres niveles: ningún padre, un padre y dos padres. Los resultados se recogen en la tabla proporcionada. Pruebe, al nivel de significación del 1%, si hay suficiente evidencia en los datos para concluir que la estructura familiar importa en el rendimiento escolar de los estudiantes.

   		Estado académico
   		Se graduó	No se graduó
   Familia	Sin padres	18	31
   	Un padre	101	44
   	Dos padres	70	26

6. El administrador de un gran centro de enseñanza media desea utilizar la influencia de los famosos para animar a los alumnos a tomar decisiones más saludables en la cafetería del centro. La cafetería está situada en el centro de un espacio abierto. Todos los días, a la hora del almuerzo, los estudiantes reciben su comida y una bebida en tres filas separadas que conducen a tres estaciones de servicio separadas. A modo de experimento, el administrador del centro escolar expuso un póster de una popular estrella del pop adolescente bebiendo leche en cada una de las tres zonas en las que se sirven las bebidas, con la salvedad de que la leche del póster es diferente en cada lugar: en uno aparece la leche blanca, en otro la leche rosa con sabor a fresa y en otro la leche de chocolate. Tras el primer día del experimento, el administrador anotó las elecciones de leche de los alumnos por separado en las tres líneas. Los datos se recogen en la tabla proporcionada. Pruebe, al nivel de significación del 1%, si hay suficiente evidencia en los datos para concluir que los carteles tuvieron algún impacto en las elecciones de bebidas de los estudiantes.

   	Elección del estudiante
   	Regular	Fresa	Chocolate
   Elección del cartel
   Regular	38	28	40
   Fresa	18	51	24
   Chocolate	32	32	53

Grande Ejercicio de conjunto de datos

1. Grande El conjunto de datos 8 registra el resultado de una encuesta realizada a 300 adultos seleccionados al azar que van a las salas de cine con regularidad. Para cada persona se registró el género y el tipo de película preferido. Pruebe, con un nivel de significación del 5%, si hay suficiente evidencia en los datos para concluir que los factores «género» y «tipo de película preferido» son dependientes.

   http://www.gone.2012books.lardbucket.org/sites/all/files/data8.xls

Respuestas

1. 1. 15.09,
   2. 24.72,
   3. 44.31
2. 1. 10.64,
   2. 18.55,
   3. 40.26
3. 1. 14.07,
   2. 16.01
4. 1. C1=35, C2=15, R1=30, R2=20, n = 50,
   2. E11=21, E12=9, E21=14, E22=6,
   3. χ2=0.3968,
   4. df=1

1. χ2=0,6698, χ0.052=5,99, no rechaza H0

2. χ2=72,35, χ0,012=9,21, rechaza H0

3. χ2=21.2784, χ0.012=9.21, rechazar H0

1. χ2=28.4539. df=3. Región de rechazo: [7.815,∞). Decisión: Rechazar H0 de independencia.