Riippumattomuuden Khiin neliö -testit

Taulukko 11.1 Vauvan sukupuoli ja syke

.

Taulukko 11. Taulukko 11.2 ”Vauvan sukupuoli ja syke”.2 Päivitetty vauvan sukupuoli ja syke

Kuvio 11.3 Vauvan sukupuolen ennustaminen

Taulukko 11.3 Yleinen kontingenssitaulukko

.

Taulukko 11.4 Yksinkertaistettu yleinen varmuustaulukko

missä R on solua vastaava rivien kokonaismäärä ja C on sarakkeiden kokonaismäärä ja n on otoskoko.

Taulukko 11. Taulukko 11.4 ”Päivitetty yleinen sattumanvaraisuustaulukko”.5 Päivitetty yleinen ennakoimattomuustaulukko

Testistatistiikka kahden tekijän riippumattomuuden testaamiseksi

χ2=Σ(O-E)2E

jossa summa on taulukon kaikkien ydinsolujen yli.

Jos

1. kaksi tutkimustekijää ovat riippumattomia ja
2. taulukon 11.5 ”Päivitetty yleinen kontingenssitaulukko” jokaisen solun havaittu lukumäärä O on vähintään 5,

tällöin χ2 noudattaa likimain khiin neliö -jakaumaa, jonka vapausasteet ovat df=(I-1)×(J-1).

Esimerkki 1

Tutkija haluaa tutkia, onko opiskelijoiden tuloksilla korkeakoulun pääsykokeessa (CEE) mitään viitteellistä voimaa tulevaan korkeakoulumenestykseen, jota mitataan keskiarvolla. Toisin sanoen hän haluaa tutkia, ovatko tekijät CEE ja GPA riippumattomia vai eivät. Hän valitsee satunnaisesti n = 100 opiskelijaa eräästä korkeakoulusta ja kirjaa ylös kunkin opiskelijan pistemäärän valintakokeesta sekä hänen arvosanojensa keskiarvon toisen vuoden lopussa. Hän jakaa pääsykokeen pisteet kahteen tasoon ja arvosanojen keskiarvot kolmeen tasoon. Lajittelemalla tiedot näiden jaottelujen mukaan hän muodostaa taulukossa 11.6 esitetyn satunnaisvaihtelutaulukon ”CEE versus GPA Contingency Table”, jossa rivien ja sarakkeiden summat on jo laskettu.

Test, 1 prosentin merkitsevyystasolla, antavatko nämä tiedot riittävästi näyttöä sen päättelemiseksi, että CEE-pisteet kertovat tulevien korkeakouluopiskelijoiden tulevasta suoritustasosta GPA:lla mitattuna.

Ratkaisu:

Tehdään testi käyttäen kriittisen arvon lähestymistapaa noudattaen tavanomaista viisivaiheista menetelmää, joka on esitetty luvun 8 ”Hypoteesien testaaminen” luvun 8.1 ”Hypoteesien testaamisen elementit” lopussa.

• Vaihe 1. Hypoteesit ovat

  H0:CEE ja GPA ovat riippumattomia tekijöitävs. Ha:CEE ja GPA eivät ole riippumattomia tekijöitä

• Vaihe 2. Jakauma on khiin neliö.

• Vaihe 3. Jotta voimme laskea testistatistiikan arvon, meidän on ensin laskettava odotettu luku kullekin kuudesta ydinsolusta (ne, joiden merkinnät on lihavoitu):

  • 1. rivi ja 1. sarake: E=(R×C)∕n=41×52∕100=21.32
  • 1. rivi ja 2. sarake: E=(R×C)∕n=36×52∕100=18.72
  • 1. rivi ja 3. sarake: E=(R×C)∕n=23×52∕100=11.96
  • 2. rivi ja 1. sarake: E=(R×C)∕n=41×48∕100=19.68
  • 2. rivi ja 2. sarake: E=(R×C)∕n=36×48∕100=17.28
  • 2. rivi ja 3. sarake: E=(R×C)∕n=23×48∕100=11.04

  Taulukko 11.6 ”CEE vs. GPA Contingency Table” on päivitetty taulukoksi 11.7 ”Päivitetty CEE vs. GPA Contingency Table”.

  Table 11.7 Päivitetty CEE versus GPA Contingency Table

  		GPA
  		<2.7	2.7-3.2	>3.2	Rivi Yhteensä
  CEE	<1800	O=35E=21.32	O=12E=18.72	O=5E=11.96	R = 52
  	≥1800	O=6E=19.68	O=24E=17.28	O=18E=11.04	R = 48
  Sarake Yhteensä		C = 41	C = 36	C = 23	n = 100

  Testitilasto on

  χ2=Σ(O-E)2E=(35-21.32)221.32+(12−18.72)218.72+(5−11.96)211.96+(6−19.68)219.68+(24−17.28)217.28+(18−11.04)211.04=31.75

• Step 4. Koska CEE-tekijällä on kaksi tasoa ja GPA-tekijällä kolme, I = 2 ja J = 3. Näin ollen testistatistiikka noudattaa khiin neliö -jakaumaa, jossa df=(2-1)×(3-1)=2 vapausastetta.

  Koska testi on oikeanpuoleinen, kriittinen arvo on χ0.012. Kuviosta 12.4 ”Khiin neliö -jakaumien kriittiset arvot” luettuna χ0.012=9.210, joten hylkäysalue on [9.210,∞).

• Vaihe 5. Koska 31,75 > 9,21, päätös on hylätä nollahypoteesi. Katso kuva 11.4. Aineisto antaa 1 %:n merkitsevyystasolla riittävästi näyttöä päätellä, että CEE-pisteet ja GPA eivät ole riippumattomia: pääsykokeen pistemäärällä on ennustusvoimaa.

Keskeisiä johtopäätöksiä

• Kriittiset khiin neliöjakauman arvot vapausasteilla df löytyvät kuviosta 12.4 ”Khiin neliö -jakaumien kriittiset arvot”.
• Khiin neliö -testiKhiin neliö -tilastoon perustuvalla testillä voidaan tarkistaa, ovatko kaksi tekijää riippumattomia. voidaan arvioida hypoteesia, jonka mukaan kaksi satunnaismuuttujaa tai tekijää ovat riippumattomia.

Harjoitukset

Basic

1. Löydä χ0.012 jokaiselle seuraavalle vapausasteiden määrälle.

   1. df=5
   2. df=11
   3. df=25

2. Löydä χ0.052 jokaiselle seuraavalle vapausasteiden määrälle.

   1. df=6
   2. df=12
   3. df=30

3. Find χ0.102 jokaiselle seuraavista vapausasteiden lukumääristä.

   1. df=6
   2. df=12
   3. df=30

4. Löydä χ0.012 kullekin seuraavista vapausasteiden lukumääristä.

   1. df=7
   2. df=10
   3. df=20

5. For df=7 and α=0.05, find

   1. χα2
   2. χα22

6. For df=17 and α=0.01, löydä

   1. χα2
   2. χα22

7. Aineiston otos on lajiteltu 2 × 2 -kontingenssitaulukkoon kahden faktorin perusteella, joilla kummallakin on kaksi tasoa.

   		Tekijä 1
   		Taso 1	Taso 2	Rivi yhteensä
   Tekijä 2	Taso 1	20	10	R
   	Taso 2	15	5	R
   Sarakkeiden yhteissumma		C	C	n

   1. Löydä sarakkeiden yhteissummat, taulukon rivisummat ja kokonaissumma n.
   2. Löydä kunkin solun odotettu havaintojen lukumäärä E, joka perustuu oletukseen, että kaksi tekijää ovat riippumattomia (eli käytä vain kaavaa E=(R×C)∕n).
   3. Löydä khiin neliö -testistatistiikan χ2 arvo.
   4. Löydä khiin neliö -testistatistiikan vapausasteiden lukumäärä.

8. Datanäyte on lajiteltu 3 × 2 -kontingenssitaulukkoon kahden tekijän perusteella, joista toisella on kolme tasoa ja toisella kaksi tasoa.

   		Tekijä 1
   		Taso 1	Taso 2	Rivi yhteensä
   Tekijä 2	Taso 1	20	10	R
   	Taso 2	15	5	R
   	Taso 3	10	20	R
   Sarakkeen loppusumma		C	C	C	n

   1. Löydä sarakkeiden loppusummat, taulukon rivisummat ja kokonaissumma n.
   2. Löydä kunkin solun odotettu havaintojen lukumäärä E, joka perustuu oletukseen, että kaksi tekijää ovat riippumattomia (eli käytä vain kaavaa E=(R×C)∕n).
   3. Löydä khiin neliö -testistatistiikan χ2 arvo.
   4. Löydä khiin neliö -testistatistiikan vapausasteiden lukumäärä.

Sovellukset

1. Lastenpsykologi uskoo, että lapset suoriutuvat testeistä paremmin, kun heille annetaan koettu valinnanvapaus. Tämän uskomuksen testaamiseksi psykologi suoritti kokeen, jossa 200 kolmasluokkalaista lasta jaettiin satunnaisesti kahteen ryhmään, A ja B. Jokaiselle lapselle annettiin sama yksinkertainen logiikkatesti. Ryhmässä B jokaiselle lapselle annettiin kuitenkin vapaus valita tekstivihko monista, joiden kansissa oli erilaisia piirroksia. Kunkin lapsen suoritus arvioitiin erittäin hyväksi, hyväksi ja tyydyttäväksi. Tuloksista on yhteenveto oheisessa taulukossa. Testaa 5 prosentin merkitsevyystasolla, onko aineistossa riittävästi näyttöä psykologin uskomuksen tueksi.

   		Ryhmä
   		A	B
   Suoriutuminen	Erittäin hyvä	32	29
   	Hyvä	55	61
   	Hyvä	10	13

2. Viininmaistelukilpailujen osalta, monet asiantuntijat väittävät, että ensimmäinen lasillinen tarjoiltua viiniä asettaa vertailumakua ja että erilainen vertailuviini voi muuttaa muiden kilpailussa olevien viinien suhteellista sijoitusta. Tämän väitteen testaamiseksi viininmaistelutilaisuudessa tarjoiltiin kolme viiniä, A, B ja C. Jokaiselle henkilölle tarjoiltiin yksi lasillinen kutakin viiniä, mutta eri järjestyksessä eri vieraille. Lopuksi kutakin henkilöä pyydettiin nimeämään paras näistä kolmesta. Tilaisuudessa oli mukana sata seitsemänkymmentäkaksi henkilöä, ja heidän parhaimmat valintansa on esitetty oheisessa taulukossa. Testaa 1 prosentin merkitsevyystasolla, onko aineistossa riittävästi todisteita sen väitteen tueksi, että viiniasiantuntijoiden mieltymys riippuu ensimmäiseksi tarjoillusta viinistä.

   		Top Pick
   		A	B	C
   Ensimmäinen lasi	A	12	31	27
   	B	15	40	21
   	C	10	9	7

3. On jätetty-Vasemmankätisyys on perinnöllistä? Tähän kysymykseen vastaamiseksi valitaan satunnaisesti 250 aikuista, joiden kätisyys ja vanhempien kätisyys kirjataan ylös. Tulokset on koottu yhteen oheiseen taulukkoon. Testaa 1 prosentin merkitsevyystasolla, onko aineistossa riittävästi todisteita, joiden perusteella voidaan päätellä, että kätisyys on perinnöllistä.

   		Vanhempien määrä vasen-
   		Oikea	178	21	21

4. Jotkut geenitutkijat väittävät, että vasemmanpuoleisen käden määräävät geenit-kätisyyden määräävät myös aivojen kielikeskusten kehitystä. Jos tämä väite pitää paikkansa, olisi kohtuullista odottaa, että vasenkätisillä ihmisillä on yleensä vahvemmat kielelliset kyvyt. Tutkimuksessa, jonka tarkoituksena oli tutkia tätä väitettä, valittiin satunnaisesti 807 opiskelijaa, jotka osallistuivat Graduate Record Examination (GRE) -tutkintoon. Heidän pistemääränsä kokeen kieliosiossa luokiteltiin kolmeen luokkaan: heikko, keskinkertainen ja korkea, ja myös heidän kätisyytensä kirjattiin ylös. Tulokset esitetään oheisessa taulukossa. Testaa 5 prosentin merkitsevyystasolla, onko aineistossa riittävästi todisteita, joiden perusteella voidaan päätellä, että vasenkätisillä on yleensä vahvempi kielitaito.

   		GRE-englannin pisteet
   		matala	keskiarvo	korkea
   Kätisyys	vasen	18	40	22
   	Oikea	201	360	166

5. Yleisesti uskotaan, että vakaassa perheessä kasvaneilla lapsilla on taipumus pärjätä koulussa. Tämän uskomuksen todentamiseksi eräs yhteiskuntatieteilijä tutki 290 satunnaisesti valitun oppilaan tiedot julkisessa lukiossa ja merkitsi muistiin kunkin oppilaan perherakenteen ja akateemisen aseman neljä vuotta lukioon tulon jälkeen. Tämän jälkeen tiedot lajiteltiin 2 × 3 kontingenssitaulukkoon, jossa oli kaksi tekijää. Tekijässä 1 on kaksi tasoa: valmistunut ja ei valmistunut. Faktorissa 2 on kolme tasoa: ei vanhempia, yksi vanhempi ja kaksi vanhempaa. Tulokset esitetään oheisessa taulukossa. Testaa 1 prosentin merkitsevyystasolla, onko aineistossa riittävästi todisteita, joiden perusteella voidaan päätellä, että perherakenteella on merkitystä oppilaiden koulumenestykseen.

   		Academic Status
   		Graduated	Did Not Graduate
   PERHE	Ei vanhempaa	18	31
   	yksi vanhempi	101	44
   	Kaksi vanhempaa	70	26

6. Suuren yläkoulun ylläpitäjä toivoo, että hän käyttäisi julkkisten vaikutusvaltaa rohkaistakseen koululaisia terveellisempiin valintoihin koulun ruokalassa. Kahvila sijaitsee keskellä avointa tilaa. Joka päivä lounasaikaan oppilaat saavat lounaansa ja juomansa kolmessa erillisessä jonossa, jotka johtavat kolmelle erilliselle tarjoiluasemalle. Koulun ylläpitäjä näytti kokeeksi julisteen, jossa suosittu teini-ikäinen poptähti juo maitoa jokaisessa kolmessa paikassa, joissa juomia tarjotaan, paitsi että julisteessa oleva maito on erilaista jokaisessa paikassa: yhdessä on valkoista maitoa, toisessa mansikanmakuista vaaleanpunaista maitoa ja toisessa suklaamaitoa. Ensimmäisen kokeilupäivän jälkeen valvoja merkitsi oppilaiden maitovalinnat erikseen kolmella rivillä. Tiedot on esitetty oheisessa taulukossa. Testaa 1 prosentin merkitsevyystasolla, onko aineistossa riittävästi todisteita, joiden perusteella voidaan päätellä, että julisteilla oli jonkinlainen vaikutus oppilaiden juomavalintoihin.

   	Opiskelijan valinta
   	Säännöllinen	Mansikka	Suklaa
   Poster Choice
   Säännöllinen	38	28	40
   Mansikka	18	18	51	24
   Suklaa	32	32	32	53

Suuret. Tietosarjaharjoitus

1. Suuri Tietosarja 8 tallentaa 300:lle satunnaisesti valitulle aikuiselle, jotka käyvät säännöllisesti elokuvateattereissa, tehdyn tutkimuksen tulokset. Jokaisesta henkilöstä kirjattiin sukupuoli ja mieluisin elokuvatyyppi. Testaa 5 %:n merkitsevyystasolla, onko aineistossa riittävästi todisteita, joiden perusteella voidaan päätellä, että tekijät ”sukupuoli” ja ”mieluisin elokuvatyyppi” ovat riippuvaisia toisistaan.

   http://www.gone.2012books.lardbucket.org/sites/all/files/data8.xls

Vastaukset

1. 1. 15.09,
   2. 24.72,
   3. 44.31
2. 1. 10.64,
   2. 18.55,
   3. 40.26
3. 1. 14.07,
   2. 16.01
4. 1. C1=35, C2=15, R1=30, R2=20, n=50,
   2. E11=21, E12=9, E21=14, E22=6,
   3. χ2=0.3968,
   4. df=1

1. χ2=0.6698, χ0.052=5.99, ei hylätä H0

2. χ2=72.35, χ0.012=9.21, hylätään H0

3. χ2=21.2784, χ0.012=9.21, hylätään H0

1. χ2=28.4539. df=3. Hylkäysalue: [7.815,∞). Päätös: