Chi-négyzet tesztek a függetlenségre

11. táblázat.1 A baba neme és a szívritmus

.

11. táblázat.2 Frissített baba neme és szívritmus

.

11.3. ábra: A baba nemének előrejelzése

11. táblázat.3 Általános kontingenciatáblázat

11. táblázat.4 Egyszerűsített általános valószínűségi táblázat

ahol R a cellának megfelelő sorösszeg és C az oszlopösszeg, n pedig a minta mérete.

A 11. táblázat.5. Frissített általános függőségi táblázat

Tesztstatisztika két tényező függetlenségének tesztelésére

χ2=Σ(O-E)2E

ahol az összeg a táblázat összes magcellájára vonatkozik.

Ha

1. a két vizsgálati tényező független, és
2. a 11.5. táblázat “Frissített általános kontingencia táblázat” minden egyes cellájának megfigyelt O száma legalább 5,

akkor χ2 megközelítőleg egy chi-négyzet eloszlást követ df=(I-1)×(J-1) szabadságfokokkal.

1. példa

Egy kutató azt szeretné megvizsgálni, hogy a diákok főiskolai felvételi vizsgán (CEE) elért pontszámai rendelkeznek-e valamilyen indikáló erővel a GPA-val mért jövőbeli főiskolai teljesítményre vonatkozóan. Más szóval, azt szeretné megvizsgálni, hogy a CEE és a GPA tényezők függetlenek-e vagy sem. Véletlenszerűen kiválasztja egy főiskola n = 100 hallgatóját, és feljegyzi minden egyes hallgató felvételi vizsgán elért pontszámát és a második év végi tanulmányi átlagát. A felvételi vizsgaeredményeket két szintre, a jegyátlagokat pedig három szintre osztja. Az adatokat e felosztások szerint rendezve megalkotja a 11.6. táblázatban látható “CEE versus GPA Contingency Table” (CEE versus GPA Contingency Table) kontingencia táblázatot, amelyben a sor- és oszlopösszegek már kiszámításra kerültek.

Teszt, az 1%-os szignifikanciaszinten, hogy ezek az adatok elegendő bizonyítékot szolgáltatnak-e annak megállapításához, hogy a CEE pontszámok jelzik a bejövő főiskolai elsőévesek jövőbeli teljesítményszintjét a tanulmányi átlaggal mérve.

Megoldás:

A tesztet a kritikus érték megközelítésével végezzük el, a 8. fejezet “Hipotézisek tesztelése” című fejezet “A hipotézisvizsgálat elemei” című 8.1. szakaszának végén ismertetett szokásos ötlépéses módszert követve.

• 1. lépés. A hipotézisek a következők

  H0:A CEE és a GPA független tényezőkvs. Ha:A CEE és a GPA nem független tényezők

• 2. lépés. Az eloszlás chi-négyzet.

• 3. lépés. A tesztstatisztika értékének kiszámításához először ki kell számítanunk a várható számot mind a hat magcellára (azokra, amelyeknek a bejegyzései félkövérrel vannak írva):

  • 1. sor és 1. oszlop: E=(R×C)∕n=41×52∕100=21,32
  • 1. sor és 2. oszlop: E=(R×C)∕n=36×52∕100=18,72
  • 1. sor és 3. oszlop: E=(R×C)∕n=23×52∕100=11,96
  • 2. sor és 1. oszlop: E=(R×C)∕n=41×48∕100=19,68
  • 2. sor és 2. oszlop: E=(R×C)∕n=36×48∕100=17,28
  • 2. sor és 3. oszlop: E=(R×C)∕n=23×48∕100=11,04

  A 11.6. táblázat “CEE kontra GPA Véletlenszerűségi táblázat” frissül a 11.7. táblázat “Frissített CEE kontra GPA Véletlenszerűségi táblázat”-ra.

  A 11. táblázat.7 Frissített CEE versus GPA Contingency Table

  		GPA
  		<2.7	2.7-3,2	>3,2	Sor összesen
  CEE	<1800	O=35E=21.32	O=12E=18.72	O=5E=11.96	R = 52
  	≥1800	O=6E=19.68	O=24E=17.28	O=18E=11.04	R = 48
  oszlop Összesen		C = 41	C = 36	C = 23	n = 100

  A tesztstatisztika

  χ2=Σ(O-E)2E=(35-21.32)221.32+(12−18.72)218.72+(5−11.96)211.96+(6−19.68)219.68+(24−17.28)217.28+(18−11.04)211.04=31.75

• Step 4. Mivel a CEE faktornak két szintje van, a GPA faktornak pedig három, I=2 és J=3. Így a tesztstatisztika a chi-négyzet eloszlást követi, df=(2-1)×(3-1)=2 szabadsági fokkal.

  Mivel a teszt jobb végű, a kritikus érték χ0,012. A 12.4. ábra “Chi-négyzet eloszlások kritikus értékei” című részéből olvasva χ0,012=9,210, tehát a visszautasítási tartomány [9,210,∞).

• 5. lépés. Mivel 31,75 > 9,21 a döntés a nullhipotézis elutasítása. Lásd a 11.4. ábrát. Az adatok 1%-os szignifikancia szinten elegendő bizonyítékot szolgáltatnak ahhoz a következtetéshez, hogy a CEE pontszám és a GPA nem függetlenek: a felvételi vizsga pontszámának előrejelző ereje van.

Főbb tanulságok

• A df szabadságfokú khi-négyzet eloszlás kritikus értékei a 12. ábrán találhatók.4 “Chi-négyzet eloszlások kritikus értékei”.
• A chi-négyzet tesztA chi-négyzet statisztikán alapuló teszt annak ellenőrzésére, hogy két tényező független-e. Annak a hipotézisnek az értékelésére használható, hogy két véletlen változó vagy tényező független.

GYakorlatok

Bázis

1. Keresd meg χ0,012-t az alábbi szabadságfokok számának mindegyikére.

   1. df=5
   2. df=11
   3. df=25

2. Keresd meg χ0,052-t az alábbi szabadságfokok számának mindegyikére.

   1. df=6
   2. df=12
   3. df=30

3. Keresd meg χ0.102 az alábbi szabadságfokok számának mindegyikére.

   1. df=6
   2. df=12
   3. df=30

4. Keresd meg χ0.012 az alábbi szabadságfokok számának mindegyikére.

   1. df=7
   2. df=10
   3. df=20

5. A df=7 és α=0 esetén.05, find

   1. χα2
   2. χα22

6. For df=17 and α=0.01, találd

   1. χα2
   2. χα22

7. Az adatmintát egy 2 × 2 kontingenciatáblába soroltuk két faktor alapján, amelyeknek mindegyike két szintje van.

   		1. faktor
   		1. szint	Szint 2	Sor összesen
   Tényező 2	Szint 1	20	10	R
   	Szint 2	15	5	R
   Oszlopösszeg		C	C	C	n

   1. Megtalálja az oszlopösszegeket, a sorok összegét és a táblázat n végösszegét.
   2. Következtessük az egyes cellákhoz tartozó megfigyelések várható számát E azon feltételezés alapján, hogy a két tényező független (vagyis egyszerűen használjuk az E=(R×C)∕n képletet).
   3. Következtessük a chi-négyzet tesztstatisztika χ2 értékét.
   4. Keresd meg a chi-négyzet tesztstatisztika szabadságfokainak számát.

8. Az adatmintát egy 3 × 2 kontingenciatáblába soroljuk két faktor alapján, amelyek közül az egyiknek három szintje van, a másiknak pedig két szintje.

   .

   		1. faktor
   		1. szint	2. szint	Sor összesen
   Faktor 2	Szint 1	20	10	R
   	Szint 2	15	5	R
   	Szint 3	10	20	R
   Oszlopösszeg		C	C	C	n

   1. Megtalálja az oszlopösszegeket, a sorok összegét és a táblázat n végösszegét.
   2. Következtessük az egyes cellákhoz tartozó megfigyelések várható számát E azon feltételezés alapján, hogy a két tényező független (vagyis egyszerűen használjuk az E=(R×C)∕n képletet).
   3. Következtessük a chi-négyzet tesztstatisztika χ2 értékét.
   4. Keresd meg a khi-négyzet tesztstatisztika szabadságfokainak számát.

Alkalmazások

1. Egy gyermekpszichológus szerint a gyerekek jobban teljesítenek a teszteken, ha vélt választási szabadságot kapnak. Ennek a meggyőződésnek a tesztelésére a pszichológus egy olyan kísérletet végzett, amelyben 200 harmadik osztályos gyermeket véletlenszerűen két csoportba osztottak, A és B. Mindegyik gyermek ugyanazt az egyszerű logikai tesztet kapta. A B csoportban azonban minden gyermek szabadon választhatott egy szöveges füzetet a sok közül, amelyeknek a borítóján különböző rajzok voltak. Az egyes gyermekek teljesítményét nagyon jó, jó és közepes minősítéssel értékelték. Az eredményeket a mellékelt táblázatban foglaltuk össze. Vizsgálja meg 5%-os szignifikanciaszinten, hogy az adatok elegendő bizonyítékot tartalmaznak-e a pszichológus meggyőződésének alátámasztására.

   .

   		Group
   		A	B
   Teljesítmény	Nagyon jó	32	29
   	Jó	55	61
   	Megfelelő	10	13

2. A borkóstoló versenyek tekintetében, sok szakértő azt állítja, hogy az első pohár felszolgált bor meghatározza a referencia ízt, és egy eltérő referencia bor megváltoztathatja a többi versenyben szereplő bor relatív rangsorát. Ennek az állításnak a tesztelésére egy borkóstoló versenyen három bort, A-t, B-t és C-t szolgáltak fel. Minden személynek egy-egy pohárral szolgáltak fel mindegyik borból, de különböző sorrendben a különböző vendégek számára. Záráskor minden személyt megkértek, hogy nevezze meg a három közül a legjobbat. Százhetvenkét ember vett részt a rendezvényen, és a legjobb választásaikat a mellékelt táblázat tartalmazza. Vizsgálja meg 1%-os szignifikanciaszinten, hogy van-e elegendő bizonyíték az adatokban annak az állításnak az alátámasztására, hogy a borszakértők preferenciája az elsőként felszolgált bortól függ.

   		Top Pick
   		A	B	B	C
   Első üveg	A	12	31	27
   	B	15	40	21
   	C	10	9	7

3. Ez marad-öröklődik? A kérdés megválaszolásához 250 felnőttet választanak ki véletlenszerűen, és feljegyzik a kéztartásukat és a szüleik kéztartását. Az eredményeket a mellékelt táblázatban foglaltuk össze. Vizsgálja meg 1%-os szignifikanciaszinten, hogy van-e elegendő bizonyíték az adatokból arra a következtetésre, hogy a balkezességnek van-e örökletes eleme.

   		Szülők száma balkezes-Handed
   		0	1	2
   Handedness	Left	8	10	12
   	Jobb	178	21	21

4. Néhány genetikus azt állítja, hogy a balkezességet meghatározó génekbalkezességet meghatározó tényezők az agy nyelvi központjainak fejlődését is irányítják. Ha ez az állítás igaz, akkor ésszerű lenne azt várni, hogy a balkezesek általában erősebb nyelvi képességekkel rendelkeznek. Egy tanulmány, amelynek célja ennek az állításnak a megfogalmazása volt, véletlenszerűen kiválasztott 807 diákot, akik részt vettek a Graduate Record Examination (GRE) vizsgán. A vizsga nyelvi részében elért pontszámukat három kategóriába sorolták: alacsony, átlagos és magas, és feljegyezték a balkezességüket is. Az eredményeket a mellékelt táblázat tartalmazza. Vizsgálja meg 5%-os szignifikanciaszinten, hogy van-e elegendő bizonyíték az adatokból arra a következtetésre, hogy a balkezesek általában erősebb nyelvi képességekkel rendelkeznek.

   .

   		GRE angol pontszámok
   		alacsony	átlag	magas
   Kézügyesség	bal	18	40	22
   	Jobb	201	360	166

5. Az általános vélekedés szerint a stabil családban nevelkedő gyerekek általában jól teljesítenek az iskolában. Ennek a hiedelemnek az igazolására egy társadalomtudós 290 véletlenszerűen kiválasztott diák adatait vizsgálta meg egy állami középiskolában, és négy évvel a középiskolába lépés után feljegyezte az egyes diákok családszerkezetét és tanulmányi helyzetét. Az adatokat ezután egy 2 × 3 kontingenciatáblába rendezték, két faktorral. Az 1. faktornak két szintje van: érettségizett és nem érettségizett. A 2. faktornak három szintje van: nincs szülő, egy szülő és két szülő. Az eredményeket a mellékelt táblázat tartalmazza. Vizsgálja meg 1%-os szignifikanciaszinten, hogy van-e elegendő bizonyíték az adatokból arra a következtetésre, hogy a családi struktúra befolyásolja a tanulók iskolai teljesítményét.

   .

   		Academic Status
   		Graduated	Did Not Graduated
   Család	Nincs szülője	18	31
   	Egy szülője	101	44
   	Két szülő	70	26

6. Egy nagy középiskola igazgatója a hírességek befolyását szeretné felhasználni, hogy a diákokat egészségesebb választásra ösztönözze az iskolai menzán. Az ebédlő egy nyitott tér közepén helyezkedik el. Minden nap ebédidőben a diákok három külön sorban kapják meg az ebédet és az italt, amelyek három külön kiszolgáló állomáshoz vezetnek. Kísérletképpen az iskola adminisztrátora egy plakátot helyezett ki egy népszerű tini popsztárról, aki tejet iszik mindhárom helyen, ahol az italokat kínálják, azzal a különbséggel, hogy a plakáton szereplő tej mindegyik helyen más és más: az egyik helyen fehér tej, a másikon eperízű rózsaszín tej, a harmadikon pedig csokoládés tej látható. A kísérlet első napja után az adminisztrátor külön-külön feljegyezte a diákok tejválasztását a három sorban. Az adatokat a mellékelt táblázat tartalmazza. Vizsgálja meg 1%-os szignifikanciaszinten, hogy van-e elegendő bizonyíték az adatokból arra a következtetésre, hogy a plakátok valamilyen hatással voltak a diákok italválasztására.

   	Tanulói választás
   	Szokásos	Eper	Csokoládé
   Poszter választás
   Szokásos	38	28	40
   Eper	18	18	51	24
   Chocolate	32	32	32	53

Nagy. Adathalmaz-gyakorlat

1. Nagy A 8. adathalmaz egy 300 véletlenszerűen kiválasztott, rendszeresen moziba járó felnőtt megkérdezésének eredményét rögzíti. Minden egyes személy esetében rögzítették a nemet és a preferált filmtípust. Vizsgálja meg 5%-os szignifikanciaszinten, hogy van-e elegendő bizonyíték az adatokban arra a következtetésre, hogy a “nem” és a “preferált filmtípus” tényezők függnek egymástól.

   http://www.gone.2012books.lardbucket.org/sites/all/files/data8.xls

Válaszok

1. 1. 15.09,
   2. 24.72,
   3. 44.31
2. 1. 10.64,
   2. 18.55,
   3. 40.26
3. 1. 14.07,
   2. 16.01
4. 1. C1=35, C2=15, R1=30, R2=20, n=50,
   2. E11=21, E12=9, E21=14, E22=6,
   3. χ2=0.3968,
   4. df=1

1. χ2=0,6698, χ0.052=5.99, nem utasítjuk el a H0

2. χ2=72.35, χ0.012=9.21, elutasítjuk a H0

3. χ2=21.2784, χ0.012=9.21, elutasítjuk H0

1. χ2=28.4539. df=3. Elutasítási régió: [7.815,∞). Döntés: