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Biography

Aryabhataは、約400年後の同名の数学者と区別するためにAryabhata Iとしても知られています。 アル＝ビルニは、アーリアバータの生涯を理解する上で役に立たなかった。彼は、アーリアバータという二人の異なる数学者が同時期に生きていたと考えていたようだからである。
アーリアバタの生年は、彼が23歳の時に『アーリアバティヤ』を書き、499年に完成させたと語っていることから、分かっている。 アーリアバータの生誕地として、パタリプートラ（1541年にビハール州のパトナとして再興された）に近いと思われるクスマプラを挙げたが、これはクスマプラ自体の位置も含めて確実とは言い難い。 パラメスワランが

…アスマカジャナパダとクスマプラの位置について最終的な判断を下すことはできない

アーリアバタはパタリプートラがグプタ帝国の首都で、学問の中心地だった時代にクスマプラでアーリアバティアⓉを書いていたということがわかっていますが、歴史家たちが彼の出生地として提案した別の場所はたくさんあります。 南インドのケーララ州、タミルナドゥ州、アンドラプラデシュ州などという説もあれば、インド北東部のベンガル地方という説もある。 また、著者はアーリアバタの生涯の大半を北インドのグプタ帝国のクスマプラで過ごしたとしながらも、南インドのヴァカタカ王朝のアスマカ地方で生まれたと主張している。 しかし、アスマカをアーリアバータの出生地とするのは、15世紀末のニラカンタ・ソマヤジの発言によるものである。 現在、ほとんどの歴史家は、ニラカンタがアーリアバターと『アーリアバター』の後世の注釈者であるバスカラ1世を混同したと考えています。
クスマプラがインドの2大数学センターの1つとなり、もう1つはウジャインです。 どちらも北部にあるが、クスマプラは（パタリプートラに近いと仮定して）ガンジス川沿いにあり、より北にある。 パタリプートラは、アーリアバータの時代、グプタ帝国の首都であり、通信網の中心であったため、世界の他の地域からの学問が容易に届き、またアーリアバータとその学派による数学や天文学の進歩がインド全土、さらにはイスラム世界にも到達することを可能にした
アーリアバータの書いたテキストについては、1つだけが現存している。 しかし、ジャは次のように主張している。 現存するテキストはAryabhataの傑作であるAryabhatiya Ⓣは、小さな天文論文118詩で書かれ、その時点までのヒンドゥー教の数学の要約を提供します。 その数学のセクションでは、33の詩は証拠なしで66の数学的なルールを与える含まれています。 Aryabhatiya Ⓣには10節の序文があり、次に数学のセクションがあり、先ほど述べたように33節、次に時間の計算と惑星モデルに関する25節のセクション、そして最後の50節は球体と日食に関するものである
このレイアウトには問題があり、van der Waerdenによって詳細に議論されています.in.S. で。 ヴァン・デル・ヴァールデンは、10節の「序」は他の3節より後に書かれたことを示唆している。 2つのパートが全体として意図されていなかったと考える理由の一つは、最初のセクションが残りの3つのセクションと異なる拍子を持っていることである。 しかし、問題はそこにとどまらない。 第1節は10節であると述べたが、確かにアーリアバタはこの節を10ギティのスタンザで構成されるセットと呼んでいる。 しかし、実際には11のgiti stanzaと2つのarya stanzaが含まれている。 ヴァン・デル・ヴァールデンは、3つの節が追加されたことを示唆し、残りの節にも少数の節があり、楠葉村のアーリアバータの学校のメンバーによって追加されたと主張しています。
『アーリアバティヤ』の数学部分は、算術、代数、平面三角法、球面三角法などを網羅しています。 また、連分節、二次方程式、冪級数の和、正弦の表も収録されている。
まず、アーリアバターが考案し、『アーリアバターヤ』で使用した数の表し方について見てみよう。 これは、インドのアルファベットの33個の子音に数値を与えて、1、2、3、…を表現するものです。 , 25, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100. それ以上の数字は、これらの子音に母音を付けて100、10000、……と表現する。 実際、101810^{18}1018までの数をアルファベット表記で表すことができる。 イフラー氏は、アーリアバタは数字記号と位取り体系にも精通していたと主張する。 彼は次のように書いている：-

…アーリアバタはゼロの記号と位取り方式による数字を知っていた可能性が極めて高いと思われる。 この推測は次の二つの事実に基づいている：第一に、彼のアルファベットによる数え方の発明はゼロや位取り方式なしでは不可能であったこと、第二に、彼は平方根や立方根の計算を行っているが、もし問題の数字が位取り方式とゼロに従って書かれていないなら不可能であることである。 この研究は、a,b,ca, b, ca, b, b, cを整数とするby=ax+cby = ax + cby=ax+c および by=ax-cby = ax – cby=ax-c の形の方程式の整数解を調べた私たちの知る限り最初のものである。 この問題は、惑星の周期を決めるという天文学の問題を研究することから生まれた。 アーリアバタは、この種の問題を解くのにクッタカ法を用いている。 クッタカとは「粉々にする」という意味で、この方法は、問題を分解して、段階的に係数が小さくなるような新しい問題を作るというものであった。 この方法は、基本的にはユークリッドアルゴリズムを使用してaaaとbbbの最大公約数を求めるものであるが、分数の継続にも関連している。 彼は『アーリアバティヤ』に次のように書いている：

100に4を加え、8倍して62000を加えると、結果はおよそ直径2万円の円周になる。 この法則により、円周と直径の関係が与えられます。

これにより、π=6283220000=3.1416 π=largefrac{62832}{20000}normalsize = 3.1416π=2000062832=3.1416 が得られ、意外と正確な値であることがわかります。 実際、π=3.14159265は8桁まで正しいです。 このような正確な値が得られることが驚きであるとすれば、Aryabhataがπの正確な値を使わず、実際には√10=3.1622を好んで使っていることがさらに驚きであろう。 Aryabhataはこの正確な値をどのように求めたか説明していないが、例えばAhmadはこの値を単位円に内接する256辺の正多角形の周囲長の半分の近似値と見なしている。 しかし、Bruinsでは、この結果は、辺の数の2倍からは得られないことを示している。 アーリアバタ1世のπの値は現代の値に非常に近く、古代人の値の中では最も正確である。 この値を求めるために、アーリアバタは特殊な方法を考案したと考えることができる。 アーリアバタ自身がこの方法を用い、後のインドの数学者たちやアラブ人までもがこの方法を採用したことが十分な根拠をもって示されている。 アーリアバタのπの値がギリシャ語由来であるという推測は、批判的に検討され、根拠がないことが判明した。 アーリアバタはこの値を独自に発見し、またπが無理数であることを認識していた。 このように、πの正確な値を発見した功績は、著名な数学者であるアーリアバタ1世にあるといえるだろう。 彼は90°の間隔で近似値を計算する正弦の表を与えた24。 sin(n+1)x-sinnx-sin(n + 1)x – \sin nxsin(n+1)x-sinnx in terms of sinnxsin nxsinnx and sin(n-1)xsin (n – 1)xsin(n-1)x. また、バーサイン(versin = 1 – cosine)を三角法に導入した。
アーリアバタの与えた他の規則には、最初のnnn個の整数、これらの整数の2乗、およびそれらの3乗の和の規則がある。 アーリアバタは三角形と円の面積については正しい公式を与えているが、球体とピラミッドの体積の公式はほとんどの歴史家が間違っていると主張している。 例えば、高さh、面積AAA の三角形の底面を持つピラミッドの体積について、アーリアバタがV=Ah/2V = Ah/2V=Ah/2 という誤った公式を与えていることをガニタナンドは「数学的過ち」と表現している。 また、球体の体積についても誤った式を与えているようである。 しかし、よくあることですが、見た目ほど簡単なものはなく、Elfering（例えば参照）は、これは誤りではなく、むしろ間違った翻訳の結果だと主張しています。
これは『アーリアバティヤ』第2節の6、7、10節に関するもので、Elferingは、ピラミッドと球体の体積について正しい答えをもたらす翻訳を作成しています。 しかし、エルフェリングは2つの専門用語を通常の意味とは異なる方法で翻訳している。 8927＞『アーリアバティヤ』の数学について見てきたが、これは天文学のテキストなので、天文学について少し述べておきたい。 アーリアバタは、宇宙における惑星の位置について体系的な取り扱いを行っている。 彼は、地球の円周を4 967 yojanas、直径を15811241 581large 1ヨジャナ＝5マイルなので、円周は24 835マイルとなり、現在受け入れられている24 902マイルという値によく近似している。 彼は、天の見かけ上の自転は地球の軸回転によるものだと考えていた。 これは、太陽系の性質についての非常に驚くべき見解であり、後の注釈者たちはそれに従う気になれず、ほとんどがアーリアバタを愚かな誤りから救うためにテキストを変更しました！
アーリアバタは、惑星の軌道の半径を地球と太陽の軌道の半径で、本質的に太陽の周りを回転する周期として与えています。 彼は、月や惑星は反射した日光によって輝くと信じており、信じられないことに、惑星の軌道は楕円であると信じている。 太陽と月の食の原因も正しく説明している。 それまでのインドでは、日食はラーフという悪魔が起こすと信じられていた。 1年の長さを365日6時間12分30秒としたのは過大評価であり、真の値は365日6時間未満である
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