Testy chi kwadrat na niezależność

przez

Testy na niezależność

Testy hipotez spotykane we wcześniejszej części książki dotyczyły tego, jak porównywane są wartości liczbowe dwóch parametrów populacji. W tym podrozdziale będziemy badać hipotezy, które mają związek z tym, czy dwie zmienne losowe przyjmują swoje wartości niezależnie, czy też wartość jednej z nich ma związek z wartością drugiej. Hipotezy będą więc wyrażone słowami, a nie symbolami matematycznymi. Dyskusja toczy się wokół następującego przykładu.

Istnieje teoria, że płeć dziecka w łonie matki jest związana z jego tętnem: dziewczynki mają wyższe tętno. Załóżmy, że chcemy sprawdzić tę teorię. Badamy zapisy tętna 40 niemowląt pobrane podczas ostatnich badań prenatalnych ich matek przed porodem i dla każdego z tych 40 losowo wybranych zapisów obliczamy wartości dwóch miar losowych: 1) płci i 2) częstości akcji serca. W tym kontekście te dwie miary losowe są często nazywane czynnikamiZmienna o kilku poziomach jakościowych. Ponieważ ciężar dowodu spoczywa na tym, że częstość akcji serca i płeć są powiązane, a nie że nie są powiązane, problem testowania teorii dotyczącej płci dziecka i częstości akcji serca można sformułować jako test następujących hipotez:

H0:Płeć dziecka i częstość akcji serca dziecka są niezależnevs. Ha:płeć dziecka i częstość akcji serca dziecka nie są niezależne

Czynnik płeć ma dwie naturalne kategorie lub poziomy: chłopiec i dziewczynka. Dzielimy drugi czynnik, częstość akcji serca, na dwa poziomy, niski i wysoki, wybierając pewną częstość akcji serca, powiedzmy 145 uderzeń na minutę, jako granicę między nimi. Tętno poniżej 145 uderzeń na minutę będzie uważane za niskie, a 145 i więcej za wysokie. 40 rekordów daje podstawę do utworzenia tabeli kontyngencji 2 × 2. Przypisując sumy wierszy, sumy kolumn i sumę całkowitą otrzymujemy tabelę przedstawioną jako Tabela 11.1 „Płeć dziecka a częstość akcji serca”. Cztery wpisy wyróżnione pogrubioną czcionką są liczbą obserwacji z próby n = 40. Było 11 dziewczynek z niskim tętnem, 17 chłopców z niskim tętnem, i tak dalej. Stanowią one rdzeń rozszerzonej tabeli.

Tabela 11.1 Płeć dziecka a częstość akcji serca

.

.

Częstość akcji serca
Niska Wysoka Row Total
Gender Girl 11 7 18
Chłopiec 17 5 22
Column Total 28 12 Total = 40

W analogii do faktu, że prawdopodobieństwo zdarzeń niezależnych jest iloczynem prawdopodobieństw każdego zdarzenia, jeśli częstość akcji serca i płeć byłyby niezależne, wówczas oczekiwalibyśmy, że liczba w każdej komórce rdzenia będzie bliska iloczynowi sumy wierszy R i sumy kolumn C wiersza i kolumny zawierającej tę komórkę, podzielonemu przez wielkość próby n. Oznaczając taką oczekiwaną liczbę obserwacji E, te cztery oczekiwane wartości to:

  • 1. wiersz i 1. kolumna: E=(R×C)∕n=18×28∕40=12,6
  • 1. wiersz i 2. kolumna: E=(R×C)∕n=18×12∕40=5,4
  • 2. wiersz i 1. kolumna: E=(R×C)∕n=22×28∕40=15,4
  • 2. wiersz i 2. kolumna: E=(R×C)∕n=22×12∕40=6,6

Uaktualniamy tabelę 11.1 „Płeć dziecka a częstość akcji serca”, umieszczając każdą wartość oczekiwaną w odpowiadającej jej komórce głównej, tuż pod wartością obserwowaną w tej komórce. W ten sposób otrzymujemy zaktualizowaną tabelę Tabela 11.2 „Zaktualizowana płeć dziecka i częstość akcji serca”.

Tabela 11.2 Updated Baby Gender and Heart Rate

.

Heart Rate
Low High Row Total
Gender Girl O=11E=12.6 O=7E=5.4 R = 18
Chłopiec O=17E=15.4 O=5E=6.6 R = 22
Column Total C = 28 C = 12 n = 40

Miarą tego, jak bardzo dane odbiegają od tego, co spodziewalibyśmy się zobaczyć, gdyby czynniki naprawdę były niezależne, jest suma kwadratów różnicy liczb w każdej komórce rdzenia, lub, standaryzując poprzez podzielenie każdego kwadratu przez oczekiwaną liczbę w komórce, suma Σ(O-E)2∕E. Odrzucilibyśmy hipotezę zerową, że czynniki są niezależne tylko wtedy, gdyby ta liczba była duża, więc test jest prawoskrętny. W tym przykładzie zmienna losowa Σ(O-E)2∕E ma rozkład chi kwadrat z jednym stopniem swobody. Jeśli zdecydowalibyśmy się na początku na testowanie na 10% poziomie istotności, wartość krytyczna definiująca region odrzucenia byłaby, czytając z Rysunku 12.4 „Wartości krytyczne rozkładów Chi-kwadrat”, χα2=χ0.102=2.706, tak więc region odrzucenia byłby przedziałem [2.706,∞). Po obliczeniu wartości standaryzowanej statystyki testowej otrzymujemy

Σ(O-E)2E=(11-12,6)212,6+(7-5,4)25,4+(17-15,4)215,4+(5-6,6)26,6=1,231

Ponieważ 1,231 < 2,706, decyzją jest nieodrzucenie H0. Zobacz Rysunek 11.3 „Przewidywanie płci dziecka”. Dane nie dostarczają wystarczających dowodów, na 10% poziomie istotności, aby stwierdzić, że częstość akcji serca i płeć są powiązane.

Rysunek 11.3 „Baby Gender Prediction”

Mając na uwadze ten konkretny przykład, przejdźmy teraz do sytuacji ogólnej. W ogólnym przypadku testowania niezależności dwóch czynników, nazywanych czynnikiem 1 i czynnikiem 2, hipotezy do przetestowania to

H0:Dwa czynniki są niezależnevs. Ha:Dwa czynniki nie są niezależne

Jak w przykładzie, każdy czynnik jest podzielony na pewną liczbę kategorii lub poziomów. Mogą one powstać naturalnie, jak w przypadku podziału płci na chłopięcą i dziewczęcą, lub nieco arbitralnie, jak w przypadku podziału częstości akcji serca na wysoką i niską. Załóżmy, że czynnik 1 ma I poziom, a czynnik 2 ma J poziom. Wtedy informacje z próby losowej dają podstawę do stworzenia ogólnej tabeli kontyngencji I × J, która z sumami wierszy, sumami kolumn i sumą całkowitą wyglądałaby tak, jak pokazano w Tabeli 11.3 „Ogólna tabela kontyngencji”. Każda komórka może być oznaczona parą indeksów (i,j). Oij oznacza liczbę obserwacji w komórce w wierszu i i kolumnie j, Ri – sumę i-tego wiersza, a Cj – sumę j-tej kolumny. Aby uprościć zapis, zrezygnujemy z indeksów, więc tabela 11.3 „Ogólna tabela kontyngencji” staje się tabelą 11.4 „Uproszczona ogólna tabela kontyngencji”. Niemniej jednak ważne jest, aby pamiętać, że Os, R i C, choć oznaczone tymi samymi symbolami, są w rzeczywistości różnymi liczbami.

Tabela 11.3 Ogólna Tabela Wariantów

.

.

.

Poziomy czynnika 2
1 – – – – j – – – J Row Total
Poziomy czynnika 1 1 O11 – – – O1j – – – O1J R1
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
i Oi1 – – – Oij – – – OiJ Ri
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
I OI1 – – – – OIj – – – OIJ RI
Suma kolumn C1 – – – – Cj – – – CJ n

Tabela 11.4 Uproszczona Ogólna Tabela Wariantów

.

.

.

.

Poziomy czynnika 2
1 – – – j – – – J Row Total
Poziomy czynnika 1 1 O – – – O – – – O R
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
i O – – – O – – – O R
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
I O O – – – – O – – – O R
Suma kolumn C – – – C – – – C n

Jak w przykładzie, dla każdej komórki rdzenia w tabeli obliczamy, jaka byłaby oczekiwana liczba E obserwacji, gdyby te dwa czynniki były niezależne. E jest obliczane dla każdej komórki głównej (każdej komórki z literą O) tabeli 11.4 „Uproszczona ogólna tabela kontyngencji” według zasady zastosowanej w przykładzie:

E=R×Cn

gdzie R jest sumą wierszy i C jest sumą kolumn odpowiadających komórce, a n jest liczebnością próby.

Po obliczeniu oczekiwanej liczby dla każdej komórki, tabela 11.4 „Uproszczona ogólna tabela kontyngencji” jest aktualizowana do postaci tabeli 11.5 „Zaktualizowana ogólna tabela kontyngencji” poprzez wstawienie obliczonej wartości E do każdej komórki rdzenia.

Tabela 11.5 Updated General Contingency Table

.

.

.

Factor 2 Levels
1 – – – j – – – J Row Total
Poziomy czynnika 1 1 OE – – – OE – – – OE R
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
i OE – – – OE – – – OE R
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
I OE – – – OE – – – – OE R
Column Total C – – – C -. – – C n

Tutaj znajduje się statystyka testowa dla hipotezy ogólnej na podstawie tabeli 11.5 „Updated General Contingency Table”, wraz z warunkami, że jest ona zgodna z rozkładem chi-kwadrat.

Test Statistic for Testing the Independence of Two Factors

χ2=Σ(O-E)2E

gdzie suma jest nad wszystkimi podstawowymi komórkami tabeli.

Jeśli

  1. dwa badane czynniki są niezależne, a
  2. liczba obserwowanych O w każdej komórce w tabeli 11.5 „Zaktualizowana ogólna tabela kontyngencji” wynosi co najmniej 5,

to χ2 w przybliżeniu ma rozkład chi kwadrat z df=(I-1)×(J-1) stopniami swobody.

Te same pięciostopniowe procedury, albo podejście wartości krytycznej, albo podejście wartości p, które zostały wprowadzone w Sekcji 8.1 „Elementy testowania hipotez” i Sekcji 8.3 „Obserwowana istotność testu” w Rozdziale 8 „Testowanie hipotez” są używane do wykonania testu, który jest zawsze prawoskrętny.

Przykład 1

Badacz chce zbadać, czy wyniki studentów na egzaminie wstępnym do college’u (CEE) mają jakąkolwiek moc orientacyjną dla przyszłych wyników w college’u mierzonych GPA. Innymi słowy, chce zbadać, czy czynniki CEE i GPA są niezależne, czy nie. Wybiera losowo n = 100 studentów w college’u i odnotowuje wynik każdego z nich na egzaminie wstępnym oraz ich średnią ocen na koniec drugiego roku studiów. Wyniki egzaminu wstępnego dzieli na dwa poziomy, a średnią ocen na trzy poziomy. Sortując dane zgodnie z tymi podziałami, tworzy tabelę kontyngencji pokazaną jako Tabela 11.6 „CEE versus GPA Contingency Table”, w której sumy wierszy i kolumn zostały już obliczone.

Table 11.6 CEE versus GPA Contingency Table

.

GPA
<2.7 2.7 do 3.2 >3.2 Row Total
CEE <1800 35 12 5 52
≥1800 6 24 18 48
Column Total 41 36 23 Total=100

Test, na poziomie istotności 1%, czy te dane dostarczają wystarczających dowodów, aby stwierdzić, że wyniki CEE wskazują przyszły poziom wydajności świeżo przyjętych studentów mierzony GPA.

Rozwiązanie:

Wykonujemy test używając podejścia wartości krytycznej, postępując zgodnie ze zwykłą pięcioetapową metodą przedstawioną na końcu sekcji 8.1 „Elementy testowania hipotez” w rozdziale 8 „Testowanie hipotez”.

  • Krok 1. Hipotezy są następujące

    H0:CEE i GPA są czynnikami niezależnymivs. Ha:CEE i GPA nie są czynnikami niezależnymi

  • Krok 2. Rozkład jest chi kwadrat.

  • Krok 3. Aby obliczyć wartość statystyki testowej, musimy najpierw obliczyć liczbę oczekiwaną dla każdej z sześciu komórek rdzenia (tych, których wpisy są pogrubione):

    • 1. wiersz i 1. kolumna: E=(R×C)∕n=41×52∕100=21,32
    • 1. wiersz i 2. kolumna: E=(R×C)∕n=36×52∕100=18,72
    • 1. wiersz i 3. kolumna: E=(R×C)∕n=23×52∕100=11,96
    • 2. wiersz i 1. kolumna: E=(R×C)∕n=41×48∕100=19,68
    • 2. wiersz i 2. kolumna: E=(R×C)∕n=36×48∕100=17,28
    • 2. wiersz i 3. kolumna: E=(R×C)∕n=23×48∕100=11,04

    Tabela 11.6 „CEE versus GPA Contingency Table” została zaktualizowana do Tabeli 11.7 „Updated CEE versus GPA Contingency Table”.

    Tabela 11.7 Updated CEE versus GPA Contingency Table

    GPA
    <2.7 2.7 do 3.2 >3.2 Row Total
    CEE <1800 O=35E=21.32 O=12E=18.72 O=5E=11.96 R = 52
    ≥1800 O=6E=19.68 O=24E=17.28 O=18E=11.04 R = 48
    Column Total C = 41 C = 36 C = 23 n = 100

    Statystyka testowa wynosi

    χ2=Σ(O-E)2E=(35-21.32)221.32+(12−18.72)218.72+(5−11.96)211.96+(6−19.68)219.68+(24−17.28)217.28+(18−11.04)211.04=31.75

  • Step 4. Ponieważ czynnik CEE ma dwa poziomy, a czynnik GPA ma trzy, I = 2 i J = 3. Zatem statystyka testu ma rozkład chi kwadrat z df=(2-1)×(3-1)=2 stopnie swobody.

    Ponieważ test jest prawoskośny, wartość krytyczna wynosi χ0,012. Odczytując z rysunku 12.4 „Wartości krytyczne rozkładów Chi-kwadrat”, χ0,012=9,210, więc region odrzucenia to [9,210,∞).

  • Krok 5. Ponieważ 31,75 > 9,21 decyzją jest odrzucenie hipotezy zerowej. Patrz Rysunek 11.4. Dane dostarczają wystarczających dowodów, na poziomie istotności 1%, aby stwierdzić, że wynik CEE i GPA nie są niezależne: wynik egzaminu wstępnego ma moc predykcyjną.

Rysunek 11.4 Uwaga 11.9 „Przykład 1”

Key Takeaways

  • Wartości krytyczne rozkładu chi kwadrat o stopniach swobody df znajdują się na rysunku 12.4 „Critical Values of Chi-Square Distributions”.
  • Test chi-squareTest oparty na statystyce chi-square sprawdzający, czy dwa czynniki są niezależne. może być użyty do oceny hipotezy, że dwie zmienne losowe lub czynniki są niezależne.

Ćwiczenia

    Podstawowe

  1. Znajdź χ0,012 dla każdej z poniższych liczb stopni swobody.

    1. df=5
    2. df=11
    3. df=25

  2. Znajdź χ0.052 dla każdej z następujących liczb stopni swobody.

    1. df=6
    2. df=12
    3. df=30

  3. Znajdź χ0.102 dla każdej z następujących liczb stopni swobody.

    1. df=6
    2. df=12
    3. df=30

  4. Znajdź χ0.012 dla każdej z następujących liczb stopni swobody.

    1. df=7
    2. df=10
    3. df=20

  5. Dla df=7 i α=0.05, find

    1. χα2
    2. χα22

  6. For df=17 and α=0.01, find

    1. χα2
    2. χα22

  7. A data sample is sorted into a 2 × 2 contingency table based on two factors, each of which has two levels.

    .

    .

    Faktor 1
    Poziom 1 Level 2 Row Total
    Factor 2 Level 1 20 10 R
    Level 2 15 5 R
    Całkowita suma kolumn C n
    1. Znajdź sumy kolumn, sumy wierszy i sumę całkowitą, n, tabeli.
    2. Znajdź oczekiwaną liczbę E obserwacji dla każdej komórki na podstawie założenia, że dwa czynniki są niezależne (czyli po prostu skorzystaj ze wzoru E=(R×C)∕n).
    3. Znajdź wartość statystyki testu chi kwadrat χ2.
    4. Znajdź liczbę stopni swobody statystyki testu chi kwadrat.

  8. Próba danych jest posortowana do tabeli kontyngencji 3 × 2 na podstawie dwóch czynników, z których jeden ma trzy poziomy, a drugi ma dwa poziomy.

    .

    .

    Faktor 1
    Poziom 1 Poziom 2 Row Total
    Factor 2 Level 1 20 10 R
    Poziom 2 15 5 R
    Poziom 3 10 20 R
    Column Total C C n
    1. Znajdź sumy kolumn, sumy wierszy i sumę całkowitą, n, tabeli.
    2. Znajdź oczekiwaną liczbę E obserwacji dla każdej komórki na podstawie założenia, że dwa czynniki są niezależne (czyli po prostu skorzystaj ze wzoru E=(R×C)∕n).
    3. Znajdź wartość statystyki testu chi kwadrat χ2.
    4. Znajdź liczbę stopni swobody statystyki testu chi kwadrat.

    Aplikacje

  1. Psycholog dziecięcy uważa, że dzieci osiągają lepsze wyniki w testach, gdy mają postrzeganą swobodę wyboru. Aby sprawdzić to przekonanie, psycholog przeprowadził eksperyment, w którym 200 trzecioklasistów zostało losowo przydzielonych do dwóch grup, A i B. Każde dziecko otrzymało ten sam prosty test logiczny. Jednak w grupie B, każde dziecko otrzymało swobodę wyboru książeczki tekstowej spośród wielu z różnymi rysunkami na okładkach. Wyniki każdego dziecka były oceniane jako bardzo dobre, dobre i dostateczne. Wyniki są podsumowane w podanej tabeli. Przetestuj, na poziomie istotności 5%, czy w danych są wystarczające dowody na poparcie przekonania psychologa.

    .

    Grupa
    A B
    Performance Very Good 32 29
    Good 55 61
    Fair 10 13

  2. W odniesieniu do konkursów degustacji wina, wielu ekspertów twierdzi, że pierwszy podany kieliszek wina wyznacza smak referencyjny i że inne wino referencyjne może zmienić względny ranking pozostałych win w konkursie. Aby przetestować to twierdzenie, trzy wina, A, B i C, zostały podane na imprezie degustacyjnej. Każdej osobie podano po jednym kieliszku każdego wina, ale w różnej kolejności dla różnych gości. Na zakończenie, każda osoba została poproszona o podanie najlepszego z trzech. Na imprezie były sto siedemdziesiąt dwie osoby, a ich najlepsze wybory są podane w tabeli. Przetestuj, na poziomie istotności 1%, czy istnieją wystarczające dowody w danych, aby poprzeć twierdzenie, że preferencje ekspertów winiarskich zależą od wina podanego jako pierwsze.

    .

    Top Pick
    A B C
    Pierwsza szyba A 12 31 27
    B 15 40 21
    C 10 9 7

  3. Czy bycie leworęcznym jest dziedziczne?Czy bycie leworęcznym jest dziedziczne? Aby odpowiedzieć na to pytanie, 250 dorosłych osób zostało losowo wybranych i zanotowano ich leworęczność oraz leworęczność ich rodziców. Wyniki są podsumowane w podanej tabeli. Przetestuj, na poziomie istotności 1%, czy istnieją wystarczające dowody w danych, aby stwierdzić, że istnieje element dziedziczności w leworęczności.

    .

    Liczba rodziców LeworęcznychHanded
    0 1 2
    Handedness Left 8 10 12
    Praworęczność 178 21 21

  4. Niektórzy genetycy twierdzą, że geny, które determinują leworęczność, rządzą również rozwojem języka.regulują również rozwój ośrodków językowych w mózgu. Jeśli to twierdzenie jest prawdziwe, wtedy byłoby rozsądne oczekiwać, że leworęczni ludzie mają tendencję do posiadania silniejszych zdolności językowych. W badaniu zaprojektowanym w celu sprawdzenia tego twierdzenia wybrano losowo 807 studentów, którzy przystąpili do egzaminu Graduate Record Examination (GRE). Ich wyniki w części językowej egzaminu zostały podzielone na trzy kategorie: niskie, średnie i wysokie, a ich leworęczność została również odnotowana. Wyniki są podane w tabeli. Sprawdź, na poziomie istotności 5%, czy istnieją wystarczające dowody w danych, aby stwierdzić, że osoby leworęczne mają większe zdolności językowe.

    .

    GRE English Scores
    Low Average Average High
    Zręczność manualna Left 40 40 22
    Prawa 201 360 166

  5. Powszechnie uważa się, że dzieci wychowujące się w stabilnych rodzinach mają tendencję do osiągania dobrych wyników w szkole. Aby zweryfikować takie przekonanie, naukowiec społeczny zbadał 290 losowo wybranych rekordów uczniów w publicznej szkole średniej i odnotował strukturę rodziny każdego ucznia i status akademicki cztery lata po rozpoczęciu nauki w szkole średniej. Dane te zostały następnie posortowane w tabeli kontyngencji 2 × 3 z dwoma czynnikami. Czynnik 1 ma dwa poziomy: ukończył szkołę i nie ukończył szkoły. Czynnik 2 ma trzy poziomy: brak rodzica, jeden rodzic, dwoje rodziców. Wyniki są podane w tabeli. Sprawdź, na poziomie istotności 1%, czy istnieją wystarczające dowody w danych, aby stwierdzić, że struktura rodziny ma znaczenie dla wyników szkolnych uczniów.

    .

    .

    Stan naukowy
    Ukończył szkołę Nie ukończył szkoły Nie ukończył szkoły
    Rodzina Brak rodzica 18 31
    Jeden rodzic 101 44
    Dwoje rodziców 70 26

  6. Administrator dużego gimnazjum chce wykorzystać wpływy celebrytów, aby zachęcić uczniów do dokonywania zdrowszych wyborów w szkolnej stołówce. Kafeteria znajduje się w centrum otwartej przestrzeni. Codziennie w porze lunchu uczniowie otrzymują swój lunch i napój w trzech oddzielnych liniach prowadzących do trzech oddzielnych stacji serwujących. W ramach eksperymentu administrator szkoły umieścił plakat popularnej nastoletniej gwiazdy popu pijącej mleko w każdym z trzech miejsc, w których podawane są napoje, z tym że mleko na plakacie jest inne w każdym miejscu: w jednym miejscu pokazane jest mleko białe, w drugim różowe o smaku truskawkowym, a w trzecim mleko czekoladowe. Po pierwszym dniu eksperymentu administrator odnotował wybory uczniów dotyczące mleka osobno dla trzech linii. Dane te są podane w zamieszczonej tabeli. Sprawdź, na poziomie istotności 1%, czy w danych są wystarczające dowody, aby stwierdzić, że plakaty miały jakiś wpływ na wybory uczniów dotyczące napojów.

    .

    .

    Wybór studenta
    Zwykły Truskawkowy Czekoladowy
    Wybór plakatu
    Regular 38 28 40
    Truskawka 18 51 24
    Czekolada 32 32 53

      Duży Zestaw danych Ćwiczenie

    1. Large W zestawie danych 8 zapisano wyniki ankiety przeprowadzonej wśród 300 losowo wybranych dorosłych osób, które regularnie chodzą do kina. Dla każdej osoby zapisano płeć i preferowany rodzaj filmu. Przetestuj, na poziomie istotności 5%, czy w danych są wystarczające dowody, aby stwierdzić, że czynniki „płeć” i „preferowany rodzaj filmu” są zależne.

      http://www.gone.2012books.lardbucket.org/sites/all/files/data8.xls

    Odpowiedzi

      1. 15.09,
      2. 24.72,
      3. 44.31
      1. 10.64,
      2. 18.55,
      3. 40.26
      1. 14.07,
      2. 16.01
      1. C1=35, C2=15, R1=30, R2=20, n = 50,
      2. E11=21, E12=9, E21=14, E22=6,
      3. χ2=0.3968,
      4. df=1

    1. χ2=0.6698, χ0.052=5,99, nie odrzucić H0

    2. χ2=72,35, χ0,012=9,21, odrzucić H0

    3. χ2=21.2784, χ0,012=9,21, odrzuć H0

    1. χ2=28,4539. df=3. Region odrzuceń: [7.815,∞). Decyzja: Odrzucić H0 o niezależności.

    .

Dodaj komentarz