Biografia
Aryabhata também é conhecido como Aryabhata I para distingui-lo do matemático posterior do mesmo nome que viveu cerca de 400 anos mais tarde. Al-Biruni não ajudou a entender a vida de Aryabhata, pois ele parecia acreditar que existiam dois matemáticos diferentes chamados Aryabhata vivendo ao mesmo tempo. Ele, portanto, criou uma confusão de dois Aryabhatas diferentes que não foi esclarecida até 1926, quando B Datta mostrou que os dois Aryabhatas de al-Biruni eram uma e a mesma pessoa.
Sabemos o ano de nascimento de Aryabhata, pois ele nos diz que tinha vinte e três anos de idade quando escreveu Aryabhatiya Ⓣ, que ele terminou em 499. Nós demos Kusumapura, pensamos estar perto de Pataliputra (que foi refundado como Patna em Bihar em 1541), como o lugar do nascimento de Aryabhata, mas isto está longe de ser certo, como é até mesmo a localização do próprio Kusumapura. Como Parameswaran escreve em :-
… nenhum veredicto final pode ser dado sobre as localizações de Asmakajanapada e Kusumapura.
Sabemos que Aryabhata escreveu Aryabhatiya Ⓣ em Kusumapura na época em que Pataliputra era a capital do império Gupta e um importante centro de aprendizado, mas tem havido inúmeros outros lugares propostos pelos historiadores como seu local de nascimento. Alguns conjecturam que ele nasceu no sul da Índia, talvez em Kerala, Tamil Nadu ou Andhra Pradesh, enquanto outros conjecturam que ele nasceu no nordeste da Índia, talvez em Bengala. Nela se afirma que Aryabhata nasceu na região de Asmaka da dinastia Vakataka no sul da Índia, embora o autor tenha aceitado que ele viveu a maior parte de sua vida em Kusumapura, no império Gupta do norte. No entanto, dar a Asmaka como local de nascimento de Aryabhata repousa num comentário feito por Nilakantha Somayaji no final do século XV. É agora pensado pela maioria dos historiadores que Nilakantha confundiu Aryabhata com Bhaskara I, que foi um comentador posterior do Aryabhatiya Ⓣ.
Devemos notar que Kusumapura se tornou um dos dois maiores centros matemáticos da Índia, sendo o outro Ujjain. Ambos estão no norte, mas Kusumapura (assumindo que está perto de Pataliputra) está no Ganges e é o mais setentrional. Pataliputra, sendo a capital do império Gupta na época de Aryabhata, era o centro de uma rede de comunicações que permitia aprender de outras partes do mundo para alcançá-lo facilmente, e também permitiu que os avanços matemáticos e astronômicos feitos por Aryabhata e sua escola chegassem através da Índia e também eventualmente ao mundo islâmico.
Como para os textos escritos por Aryabhata apenas um sobreviveu. No entanto Jha afirma que:-
… Aryabhata foi autor de pelo menos três textos astronômicos e escreveu algumas estrofes livres também.
O texto sobrevivente é a obra-prima de Aryabhata o Aryabhatiya Ⓣ que é um pequeno tratado astronômico escrito em 118 versos dando um resumo da matemática hinduísta até aquele momento. A sua secção matemática contém 33 versos dando 66 regras matemáticas sem provas. O Aryabhatiya Ⓣ contém uma introdução de 10 versos, seguida por uma seção sobre matemática com, como acabamos de mencionar, 33 versos, depois uma seção de 25 versos sobre o cálculo do tempo e modelos planetários, sendo a seção final de 50 versos sobre a esfera e eclipses.
Existe uma dificuldade com este layout que é discutido em detalhes por van der Waerden em . Van der Waerden sugere que, de facto, a Introdução dos 10 versos foi escrita mais tarde do que as outras três secções. Uma razão para acreditar que as duas partes não foram pensadas como um todo é que a primeira seção tem um metro diferente das três seções restantes. No entanto, os problemas não param por aí. Dissemos que a primeira seção tinha dez versos e de fato Aryabhata intitula a seção Conjunto de dez estrofes de giti. Mas na verdade contém onze giti stanzas e duas arya stanzas. Van der Waerden sugere que três versos foram adicionados e ele identifica um pequeno número de versos nas seções restantes que ele argumenta que também foram adicionados por um membro da escola de Aryabhata em Kusumapura.
A parte matemática do Aryabhatiya Ⓣ cobre aritmética, álgebra, trigonometria plana e trigonometria esférica. Também contém frações contínuas, equações quadráticas, somas de séries de potências e uma tabela de pecados. Examinemos alguns destes com um pouco mais de detalhe.
Primeiro, olhamos para o sistema de representação de números que Aryabhata inventou e usou no Aryabhatiya Ⓣ. Ele consiste em dar valores numéricos às 33 consoantes do alfabeto indiano para representar 1, 2, 3, … , 25, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100. Os números mais altos são indicados por estas consoantes seguidas por uma vogal para obter 100, 10000, …. Na verdade o sistema permite que números até 101810^{18}1018 sejam representados com uma notação alfabética. Ifrah in argumenta que Aryabhata também estava familiarizado com os símbolos numéricos e o sistema de valores de lugar. Ele escreve em :-
… é extremamente provável que Aryabhata conhecia o sinal para zero e os numerais do sistema de valores de lugar. Esta suposição é baseada nos dois factos seguintes: primeiro, a invenção do seu sistema de contagem alfabética teria sido impossível sem o zero ou o sistema de valor de lugar; segundo, ele efectua cálculos sobre raízes quadradas e cúbicas que são impossíveis se os números em questão não forem escritos de acordo com o sistema de valor de lugar e zero.
Próximo olhamos brevemente para alguma álgebra contida no Aryabhatiya Ⓣ. Este trabalho é o primeiro que conhecemos e examina soluções inteiras para equações da forma by=ax+cby = ax + cby=ax+c e by=ax-cby = ax – cby=ax-c, onde a,b,ca, b, ca,b,c são números inteiros. O problema surgiu do estudo do problema em astronomia de determinar os períodos dos planetas. Aryabhata usa o método kuttaka para resolver problemas deste tipo. A palavra kuttaka significa “pulverizar” e o método consistiu em dividir o problema em novos problemas onde os coeficientes se tornaram cada vez menores a cada passo. O método aqui é essencialmente o uso do algoritmo euclidiano para encontrar o maior fator comum de aaa e bbb mas também está relacionado a frações contínuas.
Aryabhata deu uma aproximação precisa para π. Ele escreveu no Aryabhatiya Ⓣ o seguinte:-
Adicionar quatro a cem, multiplicar por oito e depois adicionar sessenta e dois mil. o resultado é aproximadamente a circunferência de um círculo de diâmetro vinte mil. Por esta regra a relação da circunferência com o diâmetro é dada.
Esta dá π=6283220000=3.1416\pi = \large\frac{62832}{20000}\normalsize = 3.1416π=2000062832=3.1416 que é um valor surpreendentemente preciso. De facto π = 3,14159265 correcto para 8 lugares. Se a obtenção de um valor este preciso é surpreendente, talvez seja ainda mais surpreendente que Aryabhata não use seu valor preciso para π mas prefira usar √10 = 3,1622 na prática. Aryabhata não explica como ele encontrou este valor preciso mas, por exemplo, Ahmad considera este valor como uma aproximação à metade do perímetro de um polígono regular de 256 lados inscrito no círculo unitário. No entanto, em Bruins mostra que este resultado não pode ser obtido a partir da duplicação do número de lados. Outro artigo interessante discutindo este valor preciso de π por Aryabhata é onde Jha escreve:-
Aryabhata I o valor de π é uma aproximação muito próxima do valor moderno e o mais preciso entre os valores dos antigos. Há razões para acreditar que Aryabhata concebeu um método particular para encontrar este valor. Demonstra-se com razões suficientes que o próprio Aryabhata o utilizou, e vários matemáticos indianos posteriores e até mesmo os árabes o adoptaram. A conjectura de que o valor de Aryabhata π é de origem grega é examinada criticamente e se descobre que não tem fundamento. Aryabhata descobriu este valor independentemente e também percebeu que π é um número irracional. Ele tinha a origem indiana, sem dúvida, mas superou todos os seus predecessores ao avaliar π. Assim, o crédito de descobrir este valor exato de π pode ser atribuído ao célebre matemático, Aryabhata I.
Vemos agora a trigonometria contida no tratado de Aryabhata. Ele deu uma tabela de pecados calculando os valores aproximados em intervalos de 90°24°°°frac{90°}{24}{24}{normalsize2490° = 3° 45′. Para isso ele usou uma fórmula para sin(n+1)x-sinnx\sin(n + 1)x – \sin nxsin(n+1)x-sinnx em termos de sinnx\sin nxsinx e sin(n-1)x\sin (n – 1)xsin(n-1)x. Ele também introduziu o versículo (versin = 1 – coseno) na trigonometria.
Outras regras dadas por Aryabhata incluem que para somar os primeiros nnn inteiros, os quadrados destes inteiros e também os seus cubos. Aryabhata dá fórmulas para as áreas de um triângulo e de um círculo que são corretas, mas as fórmulas para os volumes de uma esfera e de uma pirâmide são alegadas como erradas pela maioria dos historiadores. Por exemplo, Ganitanand em descreve como “lapsos matemáticos” o facto de Aryabhata dar a fórmula incorrecta V=Ah/2V = Ah/2V=Ah/2 para o volume de uma pirâmide com altura h e base triangular da área AAA. Ele também parece dar uma expressão incorreta para o volume de uma esfera. No entanto, como é frequentemente o caso, nada é tão simples como parece e Elfering (ver por exemplo ) argumenta que isto não é um erro mas sim o resultado de uma tradução incorrecta.
Isto diz respeito aos versos 6, 7 e 10 da segunda secção do Aryabhatiya Ⓣ e em Elfering produz uma tradução que produz a resposta correcta tanto para o volume de uma pirâmide como para uma esfera. No entanto, na sua tradução Elfering traduz dois termos técnicos de uma forma diferente do significado que eles normalmente têm. Sem algumas evidências de suporte que esses termos técnicos tenham sido usados com esses significados diferentes em outros lugares ainda pareceria que Aryabhata deu de fato as fórmulas incorretas para esses volumes.
Vemos a matemática contida no Aryabhatiya Ⓣ mas esse é um texto de astronomia, então devemos dizer um pouco a respeito da astronomia que ele contém. O Aryabhata dá um tratamento sistemático da posição dos planetas no espaço. Ele deu a circunferência da terra como 4 967 yojanas e o seu diâmetro como 15811241 581 (tamanho normal1581241) yojanas. Como 1 yojana = 5 milhas isto dá a circunferência como 24 835 milhas, o que é uma excelente aproximação ao valor actualmente aceite de 24 902 milhas. Ele acreditava que a rotação aparente dos céus era devido à rotação axial da Terra. Esta é uma visão bastante notável da natureza do sistema solar que mais tarde os comentadores não conseguiram seguir e a maioria mudou o texto para salvar Aryabhata do que eles pensavam serem erros estúpidos!
Aryabhata dá o raio das órbitas planetárias em termos do raio da órbita Terra/Órbita do Sol como essencialmente os seus períodos de rotação em torno do Sol. Ele acredita que a Lua e os planetas brilham pela luz solar reflectida, incrivelmente ele acredita que as órbitas dos planetas são elipses. Ele explica corretamente as causas dos eclipses do Sol e da Lua. A crença indiana até aquele momento era que os eclipses eram causados por um demônio chamado Rahu. Seu valor para a duração do ano a 365 dias 6 horas 12 minutos 30 segundos é uma superestimação, já que o valor verdadeiro é menos de 365 dias 6 horas.