Testes Qui-Quadrado para Independência

Tabela 11.1 Sexo Bebê e freqüência cardíaca

Tabela 11.2 Gênero e freqüência cardíaca do bebê atualizados

Figure 11.3 Baby Gender Prediction

Tabela 11.3 Tabela de Contingência Geral

Quadro 11.4 Tabela de Contingência Geral Simplificada

>⋮

onde R é o total da linha e C é o total da coluna correspondente à célula, e n é o tamanho da amostra.

Tabela 11.5 Tabela de Contingência Geral Atualizada

Test statistic for Testing the Independence of Two Factors

χ2=Σ(O-E)2E

onde a soma está sobre todas as células centrais da tabela.

Se

1. os dois fatores de estudo são independentes, e
2. a contagem O observada de cada célula da Tabela 11.5 “Tabela de Contingência Geral Atualizada” é de pelo menos 5,

então χ2 aproximadamente segue uma distribuição qui-quadrada com df=(I-1)×(J-1) graus de liberdade.

Exemplo 1

Um pesquisador deseja investigar se os resultados dos estudantes em um exame de admissão (CEE) têm algum poder indicativo para o desempenho futuro da faculdade, conforme medido pelo GPA. Em outras palavras, ele deseja investigar se os fatores CEE e GPA são independentes ou não. Ele seleciona aleatoriamente n = 100 alunos de uma faculdade e anota a nota de cada aluno no exame de admissão e sua média de notas no final do segundo ano. Ele divide as notas no exame de admissão em dois níveis e as médias de notas em três níveis. Ordenando os dados de acordo com essas divisões, ele forma a tabela de contingência mostrada como Tabela 11.6 “CEE versus Tabela de Contingência de GPA”, na qual os totais das linhas e colunas já foram computados.

Teste, no nível de 1% de significância, se esses dados fornecem evidências suficientes para concluir que as pontuações da CEE indicam níveis futuros de desempenho dos calouros universitários entrantes, conforme medido pelo GPA.

Solução:

Realizamos o teste usando a abordagem do valor crítico, seguindo o método usual de cinco passos delineado no final da Seção 8.1 “Os Elementos do Teste de Hipóteses” no Capítulo 8 “Testando Hipóteses”.

• Passo 1. As hipóteses são

  H0:CEE e GPA são fatores independentessvs. Ha:CEE e GPA não são fatores independentes

• Passo 2. A distribuição é qui-quadrado.

• Passo 3. Para calcular o valor da estatística do teste devemos primeiro calcular o número esperado para cada uma das seis células centrais (aquelas cujas entradas estão em negrito):

  • 1ª linha e 1ª coluna: E=(R×C)∕n=41×52∕100=21,32
  • 1ª fila e 2ª coluna: E=(R×C)∕n=36×52∕100=18,72
  • 1ª fila e 3ª coluna: E=(R×C)52∕100=36×52∕100=18,72
  • 1ª fila e 3ª coluna: E=(R×C)∕n=23×52∕100=11,96
  • 2ª fila e 1ª coluna: E=(R×C)52∕100=23×52∕100=11,96
  • 2ª fila e 1ª coluna: E=(R×C)∕n=41×48∕100=19,68
  • 2ª linha e 2ª coluna: E=(R×C)48∕100=41×48∕100=19,68
  • 2ª linha e 2ª coluna: E=(R×C)∕n=36×48∕100=17,28
  • 2ª linha e 3ª coluna: E=(R×C)48∕100=36×48∕100=17,28
  • 2ª linha e 3ª coluna: E=(R×C)∕n=23×48∕100=11.04

  Tabela 11.6 “Tabela CEE versus GPA Contingency Table” é atualizada para a Tabela 11.7 “Tabela CEE versus GPA Contingency Table”.

  Tabela 11.7 “Tabela de CEE versus GPA de Contingência”.

  		GPA
  		<2,7	2.7 a 3,2	>3,2	Total de linhas
  CEE	<1800	O=35E=21.32	O=12E=18.72	O=5E=11.96	R = 52
  	≥1800	O=6E=19.68	O=24E=17.28	O=18E=11.04	R = 48
  Total da coluna		C = 41	C = 36	C = 23	n = 100

  A estatística do teste é

  χ2=Σ(O-E)2E=(35-21.32)221.32+(12−18.72)218.72+(5−11.96)211.96+(6−19.68)219.68+(24−17.28)217.28+(18−11.04)211.04=31.75

• Step 4. Como o fator CEE tem dois níveis e o fator GPA tem três, I = 2 e J = 3. Assim, a estatística do teste segue a distribuição qui-quadrado com df=(2-1)×(3-1)=2 graus de liberdade.

  Desde que o teste seja de cauda direita, o valor crítico é χ0.012. Lendo da Figura 12.4 “Valores Críticos das Distribuições Qui-quadradas”, χ0.012=9.210, então a região de rejeição é [9.210,∞).

• Passo 5. Desde 31,75 > 9,21 a decisão é de rejeitar a hipótese nula. Veja a Figura 11.4. Os dados fornecem evidências suficientes, no nível de 1% de significância, para concluir que a nota CEE e a APB não são independentes: a nota do exame de admissão tem poder preditivo.

Key Takeaways

• Valores críticos de uma distribuição qui-quadrado com graus de liberdade df são encontrados na Figura 12.4 “Valores críticos da distribuição qui-quadrado”.
• Um teste de qui-quadradoA teste baseado em uma estatística qui-quadrado para verificar se dois fatores são independentes. pode ser usado para avaliar a hipótese de que duas variáveis ou fatores aleatórios são independentes.

Exercícios

Basic

1. Pesquisa χ0.012 para cada um dos seguintes números de graus de liberdade.

   1. df=5
   2. df=11
   3. df=25

2. Localizar χ0.052 para cada um dos seguintes números de graus de liberdade.

   1. df=6
   2. df=12
   3. df=30

3. Find χ0.102 para cada um dos seguintes números de graus de liberdade.

   1. df=6
   2. df=12
   3. df=30

4. Find χ0.012 para cada um dos seguintes números de graus de liberdade.

   1. df=7
   2. df=10
   3. df=20

5. Para df=7 e α=0.05, find

   1. χα2
   2. χα22

6. Para df=17 e α=0.01, find

   1. χα2
   2. χα22

7. Uma amostra de dados é classificada em uma tabela de contingência de 2 × 2, baseada em dois fatores, cada um dos quais com dois níveis.

   		Factor 1
   		Level 1	Nível 2	Total de linha
   Factor 2	Nível 1	20	10	R
   	Nível 2	15	5	R
   Total da coluna		C	C	n

   1. Encontre os totais da coluna, os totais das filas, e o total geral, n, da mesa.
   2. Encontrar o número E esperado de observações para cada célula com base na suposição de que os dois fatores são independentes (ou seja, basta usar a fórmula E=(R×C)∕n).
   3. Encontrar o valor da estatística do teste do qui-quadrado χ2.
   4. Ponte o número de graus de liberdade da estatística do teste de qui-quadrado.

8. Uma amostra de dados é classificada em uma tabela de contingência 3 × 2 com base em dois fatores, um dos quais com três níveis e o outro com dois níveis.

   		Factor 1
   		Nível 1	Nível 2	Total de linha
   Factor 2	Nível 1	20	10	R
   	Nível 2	15	5	R
   	Nível 3	10	20	R
   Total da coluna		C	C	n

   1. Encontrar os totais da coluna, os totais das filas, e o total geral, n, da mesa.
   2. Encontrar o número E esperado de observações para cada célula com base na suposição de que os dois fatores são independentes (ou seja, basta usar a fórmula E=(R×C)∕n).
   3. Encontrar o valor da estatística do teste do qui-quadrado χ2.

   >

   4. Ponha o número de graus de liberdade da estatística do teste de qui-quadrado.

Aplicações

1. Um psicólogo infantil acredita que as crianças têm melhor desempenho nos testes quando lhes é dada liberdade de escolha percebida. Para testar essa crença, o psicólogo realizou um experimento no qual 200 alunos do terceiro ano foram designados aleatoriamente para dois grupos, A e B. A cada criança foi dado o mesmo teste lógico simples. Entretanto, no grupo B, cada criança recebeu a liberdade de escolher um livreto de texto entre muitos, com vários desenhos nas capas. O desempenho de cada criança foi classificado como Muito Bom, Bom, e Justo. Os resultados estão resumidos na tabela fornecida. Teste, ao nível de 5% de significância, se há evidências suficientes nos dados para apoiar a crença do psicólogo.

   		Grupo
   		A	B
   Desempenho	Muito Bom	32	29
   	Bom	55	61
   	Fair	10	13

2. Em relação a concursos de prova de vinhos, Muitos especialistas afirmam que o primeiro copo de vinho servido estabelece um sabor de referência e que um vinho de referência diferente pode alterar a classificação relativa dos outros vinhos em competição. Para testar esta alegação, três vinhos, A, B e C, foram servidos num evento de prova de vinhos. A cada pessoa foi servido um único copo de cada vinho, mas em encomendas diferentes para convidados diferentes. No final, foi pedido a cada pessoa que nomeasse o melhor dos três. Cento e setenta e duas pessoas estavam no evento e as suas melhores colheitas são dadas na mesa fornecida. Teste, ao nível de 1% de significância, se existem provas suficientes nos dados para apoiar a alegação de que a preferência dos peritos em vinho depende do primeiro vinho servido.

   		Top Pick
   		A	B	C
   Primeiro Vidro	A	12	31	27
   	B	15	40	21
   	C	10	9	7

3. Será deixado…hereditárias? Para responder a esta pergunta, 250 adultos são seleccionados aleatoriamente e a sua mão e a mão dos seus pais são anotadas. Os resultados estão resumidos na tabela fornecida. Teste, ao nível de 1% de significância, se existem evidências suficientes nos dados para concluir que existe um elemento hereditário na mão.

   		Número de Pais Esquerdos.Entregue
   		>0	1	2
   Punho	Esquerda	8	10	12
   	Direita	178	21	21

4. Alguns geneticistas afirmam que os genes que determinam a esquerda…A mão também governa o desenvolvimento dos centros de linguagem do cérebro. Se esta afirmação for verdadeira, então seria razoável esperar que as pessoas canhotas tendam a ter capacidades linguísticas mais fortes. Um estudo concebido para escrever esta afirmação seleccionou aleatoriamente 807 alunos que fizeram o Graduate Record Examination (GRE). As suas notas na parte linguística do exame foram classificadas em três categorias: baixa, média e alta, e a sua mão também foi notada. Os resultados são apresentados na tabela fornecida. Teste, ao nível de 5% de significância, se há evidência suficiente nos dados para concluir que as pessoas canhotas tendem a ter habilidades linguísticas mais fortes.

   		Pontuações em inglês
   		Baixo	Média	Alto
   Pega de mão	Esquerda	18	40	22
   	Direito	201	360	166

5. Acredita-se geralmente que as crianças educadas em famílias estáveis tendem a se sair bem na escola. Para verificar tal crença, um cientista social examinou 290 registros de alunos selecionados aleatoriamente em uma escola secundária pública e notou a estrutura familiar e o status acadêmico de cada aluno quatro anos após entrar na escola secundária. Os dados foram então classificados em uma tabela de contingência de 2 × 3 com dois fatores. O fator 1 tem dois níveis: graduado e não graduado. O fator 2 tem três níveis: nenhum dos pais, um dos pais e dois pais. Os resultados são apresentados na tabela fornecida. Teste, ao nível de 1% de significância, se há evidência suficiente nos dados para concluir que a estrutura familiar é importante no desempenho escolar dos alunos.

   		Situação acadêmica
   		Graduado	Não Graduado
   Família	Sem pais	18	31
   	Um dos pais	101	44
   	Dois pais	70	26

6. Um administrador de uma grande escola média deseja usar a influência das celebridades para encorajar os alunos a fazer escolhas mais saudáveis no refeitório da escola. A cafeteria está situada no centro de um espaço aberto. Todos os dias, na hora do almoço, os alunos almoçam e bebem uma bebida em três linhas separadas que levam a três estações de serviço separadas. Como experiência, o administrador da escola exibiu um cartaz de uma popular estrela pop adolescente bebendo leite em cada uma das três áreas onde as bebidas são fornecidas, exceto que o leite no cartaz é diferente em cada local: um mostra leite branco, outro mostra leite rosa com sabor de morango e outro mostra leite com chocolate. Após o primeiro dia da experiência, o administrador anotou as escolhas de leite dos alunos separadamente para as três linhas. Os dados são apresentados na tabela fornecida. Teste, ao nível de 1% de significância, se há evidência suficiente nos dados para concluir que os cartazes tiveram algum impacto nas escolhas de bebida dos alunos.

   	Student Choice
   	Regular	Strawberry	Chocolate
   Poster Choice
   Regular	38	28	40
   Strawberry	18	51	24
   Chocolate	32	32	53

Grande Data Set Exercise

1. Large Data Set 8 registra o resultado de uma pesquisa com 300 adultos selecionados aleatoriamente que vão ao cinema regularmente. Para cada pessoa foi registrado o sexo e o tipo de filme preferido. Teste, ao nível de 5% de significância, se há evidência suficiente nos dados para concluir que os fatores “sexo” e “tipo preferido de filme” são dependentes.

   http://www.gone.2012books.lardbucket.org/sites/all/files/data8.xls

Respostas

1. 1. 15.09,
   2. 24.72,
   3. 44.31
2. 1. 10.64,
   2. 18.55,
   3. 40.26
3. 1. 14.07,
   2. 16.01
4. 1. C1=35, C2=15, R1=30, R2=20, n = 50,
   2. E11=21, E12=9, E21=14, E22=6,
   3. χ2=0.3968,
   4. df=1

1. χ2=0,6698, χ0.052=5.99, não rejeitar H0

2. χ2=72.35, χ0.012=9.21, rejeitar H0

3. χ2=21.2784, χ0.012=9.21, rejeite H0

1. χ2=28.4539. df=3. Região de Rejeição: [7.815,∞). Decisão: Rejeitar H0 da independência.