Biografi
Aryabhata är också känd som Aryabhata I för att skilja honom från den senare matematikern med samma namn som levde cirka 400 år senare. Al-Biruni har inte hjälpt till att förstå Aryabhatas liv, för han verkade tro att det fanns två olika matematiker vid namn Aryabhata som levde samtidigt. Han skapade därför en förvirring om två olika Aryabhatas som inte klargjordes förrän 1926 då B Datta visade att al-Birunis två Aryabhatas var en och samma person.
Vi känner till Aryabhatas födelseår eftersom han berättar att han var tjugotre år gammal när han skrev Aryabhatiya Ⓣ som han avslutade år 499. Vi har angett Kusumapura, som tros ligga nära Pataliputra (som 1541 ombildades till Patna i Bihar), som Aryabhatas födelseort, men detta är långt ifrån säkert, liksom även själva platsen för Kusumapura. Som Parameswaran skriver i :-
… ingen slutgiltig dom kan ges om var Asmakajanapada och Kusumapura ligger.
Vi vet att Aryabhata skrev Aryabhatiya Ⓣ i Kusumapura vid den tid då Pataliputra var huvudstad i Gupta-imperiet och ett viktigt lärdomscentrum, men det har funnits ett stort antal andra platser som historiker har föreslagit som hans födelseplats. Vissa gissar att han föddes i södra Indien, kanske Kerala, Tamil Nadu eller Andhra Pradesh, medan andra gissar att han föddes i nordöstra Indien, kanske i Bengalen. I hävdas det att Aryabhata föddes i Asmaka-regionen i Vakataka-dynastin i södra Indien, även om författaren godtar att han levde större delen av sitt liv i Kusumapura i Gupta-imperiet i norr. Att Asmaka anges som Aryabhatas födelseort vilar dock på en kommentar från Nilakantha Somayaji i slutet av 1400-talet. De flesta historiker anser nu att Nilakantha förväxlade Aryabhata med Bhaskara I som var en senare kommentator till Aryabhatiya Ⓣ.
Vi bör notera att Kusumapura blev ett av Indiens två stora matematiska centra, det andra var Ujjain. Båda ligger i norr men Kusumapura (om man antar att det ligger nära Pataliputra) ligger vid Ganges och är det nordligare. Pataliputra, som var huvudstad i Gupta-imperiet på Aryabhatas tid, var centrum för ett kommunikationsnätverk som gjorde att lärdomar från andra delar av världen lätt kunde nå dit, och som också gjorde att de matematiska och astronomiska framsteg som Aryabhata och hans skola gjorde nådde ut över hela Indien och så småningom även in i den islamiska världen.
Vad beträffar de texter som skrevs av Aryabhata är det bara en som har överlevt. Jha hävdar dock att:-
… Aryabhata var författare till minst tre astronomiska texter och skrev även några fria strofer.
Den överlevande texten är Aryabhatas mästerverk Aryabhatiya Ⓣ som är en liten astronomisk avhandling skriven i 118 verser som ger en sammanfattning av den hinduiska matematiken fram till den tiden. Den matematiska delen innehåller 33 verser som ger 66 matematiska regler utan bevis. Aryabhatiya Ⓣ innehåller en inledning på 10 verser, följt av ett avsnitt om matematik med, som vi nyss nämnde, 33 verser, sedan ett avsnitt på 25 verser om tidsräkning och planetmodeller, och det sista avsnittet på 50 verser handlar om sfären och förmörkelser.
Det finns en svårighet med detta upplägg som diskuteras i detalj av van der Waerden i . Van der Waerden föreslår att den 10 verser långa inledningen i själva verket skrevs senare än de andra tre avsnitten. Ett skäl till att tro att de två delarna inte var avsedda som en helhet är att det första avsnittet har en annan metrik än de övriga tre avsnitten. Problemen slutar dock inte där. Vi sade att det första avsnittet hade tio verser och i själva verket titulerar Aryabhata avsnittet Set of ten giti stanzas. Men det innehåller i själva verket elva giti-stanor och två arya-stanor. Van der Waerden föreslår att tre verser har lagts till och han identifierar ett litet antal verser i de återstående avsnitten som han hävdar också har lagts till av en medlem av Aryabhatas skola i Kusumapura.
Den matematiska delen av Aryabhatiya Ⓣ omfattar aritmetik, algebra, plan trigonometri och sfärisk trigonometri. Den innehåller också fortsatta bråk, kvadratiska ekvationer, summor av potenserier och en tabell över sinus. Låt oss undersöka några av dessa lite närmare.
Först tittar vi på det system för att representera tal som Aryabhata uppfann och använde i Aryabhatiya Ⓣ. Det består av att ge numeriska värden till de 33 konsonanterna i det indiska alfabetet för att representera 1, 2, 3, …. , 25, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100. De högre talen betecknas med dessa konsonanter följt av en vokal för att få 100, 10000, ….. I själva verket tillåter systemet att tal upp till 101810^{18}1018 representeras med en alfabetisk notation. Ifrah i hävdar att Aryabhata också var bekant med numeriska symboler och platsvärdesystemet. Han skriver i :-
… det är ytterst troligt att Aryabhata kände till tecknet för noll och siffrorna i platsvärdessystemet. Detta antagande grundar sig på följande två fakta: för det första skulle uppfinningen av hans alfabetiska räknesystem ha varit omöjlig utan nollan eller platsvärdesystemet; för det andra utför han beräkningar på kvadrat- och kubikrötter som är omöjliga om siffrorna i fråga inte är skrivna enligt platsvärdesystemet och nollan.
Nästan tittar vi kortfattat på en del algebra som finns i Aryabhatiya Ⓣ. Detta arbete är det första vi känner till som undersöker heltalslösningar till ekvationer av formen by=ax+cby = ax + cby=ax+c och by=ax-cby = ax – cby=ax-c, där a,b,ca, b, ca,b,c är heltal. Problemet uppstod när man studerade problemet inom astronomin med att bestämma planeternas perioder. Aryabhata använder kuttaka-metoden för att lösa problem av denna typ. Ordet kuttaka betyder ”pulverisera” och metoden bestod i att bryta ner problemet i nya problem där koefficienterna blev mindre och mindre för varje steg. Metoden här är i huvudsak användningen av den euklidiska algoritmen för att hitta den högsta gemensamma faktorn av aaa och bbb men är också relaterad till fortsatta bråk.
Aryabhata gav en noggrann approximation för π. Han skrev i Aryabhatiya Ⓣ följande:-
Addera fyra till hundra, multiplicera med åtta och addera sedan sextiotvå tusen. resultatet är ungefär omkretsen av en cirkel med diametern tjugotusen. Med denna regel ges förhållandet mellan omkrets och diameter.
Detta ger π=6283220000=3,1416\pi = \large\frac{62832}{20000}\normalsize = 3,1416π=2000062832=3,1416 vilket är ett förvånansvärt exakt värde. I själva verket är π = 3,14159265 korrekt med åtta punkters noggrannhet. Om det är förvånande att få ett så exakt värde är det kanske ännu mer förvånande att Aryabhata inte använder sitt exakta värde för π utan föredrar att använda √10 = 3,1622 i praktiken. Aryabhata förklarar inte hur han hittade detta exakta värde, men Ahmad anser till exempel att detta värde är en approximation av halva omkretsen på en regelbunden polygon med 256 sidor inskriven i enhetscirkeln. In Bruins visar dock att detta resultat inte kan erhållas genom en fördubbling av antalet sidor. En annan intressant artikel som diskuterar detta exakta värde på π av Aryabhata är där Jha skriver:-
Aryabhata I:s värde på π är en mycket nära approximation av det moderna värdet och det mest exakta bland de äldres. Det finns skäl att tro att Aryabhata utarbetade en särskild metod för att hitta detta värde. Det visas med tillräckliga skäl att Aryabhata själv använde den, och flera senare indiska matematiker och till och med araberna antog den. Misstanken att Aryabhatas värde π är av grekiskt ursprung granskas kritiskt och visar sig sakna grund. Aryabhata upptäckte detta värde självständigt och insåg också att π är ett irrationellt tal. Han hade utan tvekan indisk bakgrund, men överträffade alla sina föregångare i utvärderingen av π. Således kan äran att ha upptäckt detta exakta värde på π tillskrivas den berömde matematikern Aryabhata I.
Vi tittar nu på den trigonometri som ingår i Aryabhatas avhandling. Han gav en tabell över sinus som beräknade de ungefärliga värdena i intervaller av 90°24\large\frac{90°}{24}\normalsize2490° = 3° 45′. För att göra detta använde han en formel för sin(n+1)x-sinnx\sin(n + 1)x – \sin nxsin(n+1)x-sinnx i termer av sinnx\sin nxsinnx och sin(n-1)x\sin (n – 1)xsin(n-1)x. Han införde också versin (versin = 1 – cosinus) i trigonometrin.
Andra regler som Aryabhata gav är bland annat reglerna för summering av de första nnn heltalen, kvadraterna av dessa heltal och även deras kuber. Aryabhata ger formler för areorna av en triangel och en cirkel som är korrekta, men formlerna för volymerna av en sfär och en pyramid påstås vara felaktiga av de flesta historiker. Ganitanand beskriver till exempel som ”matematiska misstag” det faktum att Aryabhata ger den felaktiga formeln V=Ah/2V = Ah/2V=Ah/2 för volymen av en pyramid med höjd h och triangulär bas med area AAA. Han tycks också ge ett felaktigt uttryck för volymen av en sfär. Men som så ofta är ingenting så enkelt som det verkar och Elfering (se t.ex. ) hävdar att detta inte är ett fel utan snarare resultatet av en felaktig översättning.
Detta gäller verserna 6, 7 och 10 i det andra avsnittet av Aryabhatiya Ⓣ och i Elfering framställer en översättning som ger det korrekta svaret för både volymen av en pyramid och för en sfär. I sin översättning översätter Elfering dock två tekniska termer på ett annat sätt än den betydelse de vanligtvis har. Utan några stödjande bevis för att dessa tekniska termer har använts med dessa olika betydelser på andra ställen verkar det fortfarande som om Aryabhata faktiskt gav de felaktiga formlerna för dessa volymer.
Vi har tittat på den matematik som finns i Aryabhatiya Ⓣ men detta är en astronomitext så vi bör säga lite om den astronomi som den innehåller. Aryabhata ger en systematisk behandling av planeternas position i rymden. Han angav jordens omkrets som 4 967 yojanas och dess diameter som 15811241 581\large\frac{1}{24}\normalsize1581241 yojanas. Eftersom 1 yojana = 5 miles ger detta omkretsen 24 835 miles, vilket är en utmärkt approximation av det nu accepterade värdet 24 902 miles. Han trodde att himlens skenbara rotation berodde på jordens axiella rotation. Detta är en ganska anmärkningsvärd syn på solsystemets natur som senare kommentatorer inte kunde förmå sig att följa och de flesta ändrade texten för att rädda Aryabhata från vad de trodde var dumma fel!
Aryabhata anger radien för planeternas banor i termer av radien för jordens/solens omloppsbana som i huvudsak deras rotationsperioder runt solen. Han tror att månen och planeterna lyser genom reflekterat solljus, otroligt nog tror han att planeternas banor är ellipser. Han förklarar korrekt orsakerna till sol- och månförmörkelser. Den indiska tron fram till dess var att förmörkelser orsakades av en demon som hette Rahu. Hans värde för årets längd på 365 dagar 6 timmar 12 minuter 30 sekunder är en överskattning eftersom det verkliga värdet är mindre än 365 dagar 6 timmar.