Nejdůležitějšími potravními zdroji pro tento druh jsou semena borovic (Pinus sp.), především dva chladnomilné (vysokohorské) druhy borovice bílé (Pinus subgenus Strobus) s velkými semeny P. albicaulis a P. flexilis, ale využívají i další vysokohorské druhy jako P. balfouriana, P. longaeva a P. monticola. Při migracích do nižších nadmořských výšek také hojně využívá semena borovice pinie. Izolovaná populace v Cerro Potosí je silně vázána na místní endemickou borovici Pinus culminicola z Potosí. Všichni ořešníci Clarkovi mají podjazykový váček, který je schopen pojmout asi 50-150 semen v závislosti na jejich velikosti; váček výrazně zvyšuje schopnost ptáků semena přenášet a uchovávat.
Ořešníci Clarkovi uchovávají semena, obvykle v zemi pro pozdější spotřebu, ve skrýších po 1-15 semenech (průměrně 3-4 semena). V závislosti na úrodě šišek i na druhu stromu může jeden ořešník Clarkův schovat až 98 000 semen za sezónu. Ptáci si pravidelně ukládají více semen, než skutečně potřebují, jako pojistku proti krádežím semen jinými zvířaty (veverkami apod.) a také proti nízké dostupnosti alternativní potravy; tato přebytečná semena jsou ponechána ve skrýši a mohou vyklíčit a vyrůst z nich nové stromy, pokud jsou k tomu vhodné podmínky. Touto činností, spočívající v ukládání do skrýší a nadměrném skladování, si pták udržuje své vlastní stanoviště. S tímto způsobem ukládání semen úzce souvisí i pozoruhodná dlouhodobá prostorová paměť ptáků, kteří jsou schopni přemístit schránky se semeny s velkou přesností i po devíti měsících, a to i v případě, že jsou schránky zasypány až metrem sněhu. Jeho paměťové schopnosti jsou příkladem vysoké inteligence ptáků z čeledi Corvidae.
Jeho potrava zahrnuje také širokou škálu hmyzí kořisti, bobule a jiné plody, drobné savce a příležitostně i maso z mršin. Někdy požírá i vejce a mláďata, na ptačích stolech jsou oblíbené burské oříšky a suet. Potravu berou jak ze země, tak ze stromů, kde jsou ořešníci mezi větvemi velmi hbití. Ptáci jsou schopni získávat potravu sevřením šišek tak, že je drží mezi jednou nebo oběma nohama. Ptáci pak šišky rozlousknou silným zobákem. Při hledání velkých broučích housenek se také nabourávají do shnilých kmenů a při hledání hmyzu mohou převracet zvířecí trus. Ořešníci Clarkovi mohou být také oportunističtí krmiči v zastavěných oblastech a někteří je nazývají „vykradači táborů“.