Chi-Quadrat-Tests für die Unabhängigkeit

Tabelle 11.1 Baby Geschlecht und Herzfrequenz

Tabelle 11.2 Aktualisiertes Geschlecht und Herzfrequenz des Babys

Abbildung 11.3 Vorhersage des Geschlechts des Babys

Tabelle 11.3 Allgemeine Kontingenztabelle

Tabelle 11.4 Vereinfachte allgemeine Kontingenztabelle

wobei R die Zeilensumme und C die Spaltensumme ist, die der Zelle entspricht, und n der Stichprobenumfang ist.

Tabelle 11.5 Aktualisierte allgemeine Kontingenztabelle

Teststatistik zur Prüfung der Unabhängigkeit zweier Faktoren

χ2=Σ(O-E)2E

wobei die Summe über alle Kernzellen der Tabelle geht.

Wenn

1. die beiden Studienfaktoren unabhängig sind und
2. die beobachtete Anzahl O jeder Zelle in Tabelle 11.5 „Aktualisierte allgemeine Kontingenztabelle“ mindestens 5 beträgt,

dann folgt χ2 ungefähr einer Chi-Quadrat-Verteilung mit df=(I-1)×(J-1) Freiheitsgraden.

Beispiel 1

Ein Forscher möchte untersuchen, ob die Ergebnisse der Schüler in einer College-Aufnahmeprüfung (CEE) eine Aussagekraft für die zukünftigen College-Leistungen haben, die durch den GPA gemessen werden. Mit anderen Worten, er möchte untersuchen, ob die Faktoren CEE und GPA unabhängig sind oder nicht. Er wählt n = 100 Studenten eines Colleges nach dem Zufallsprinzip aus und notiert für jeden Studenten das Ergebnis der Aufnahmeprüfung und seinen Notendurchschnitt am Ende des zweiten Studienjahres. Er teilt die Ergebnisse der Aufnahmeprüfung in zwei Stufen und den Notendurchschnitt in drei Stufen ein. Indem er die Daten nach diesen Unterteilungen sortiert, bildet er die Kontingenztabelle in Tabelle 11.6 „CEE versus GPA Contingency Table“, in der die Zeilen- und Spaltensummen bereits berechnet worden sind.

Test, auf dem Signifikanzniveau von 1 %, ob diese Daten ausreichende Beweise dafür liefern, dass die CEE-Werte das zukünftige Leistungsniveau von Studienanfängern, gemessen am Notendurchschnitt, anzeigen.

Lösung:

Wir führen den Test mit dem Ansatz des kritischen Wertes durch und folgen dabei der üblichen fünfstufigen Methode, die am Ende von Abschnitt 8.1 „Die Elemente der Hypothesenprüfung“ in Kapitel 8 „Testen von Hypothesen“ beschrieben wird.

• Schritt 1. Die Hypothesen sind

  H0:CEE und GPA sind unabhängige Faktorenvs. Ha:CEE und GPA sind keine unabhängigen Faktoren

• Schritt 2. Die Verteilung ist Chi-Quadrat.

• Schritt 3. Um den Wert der Teststatistik zu berechnen, müssen wir zunächst die erwartete Zahl für jede der sechs Kernzellen (die, deren Einträge fett gedruckt sind) berechnen:

  • 1.Zeile und 1.Spalte: E=(R×C)∕n=41×52∕100=21,32
  • 1. Zeile und 2. Spalte: E=(R×C)∕n=36×52∕100=18,72
  • 1. Zeile und 3. Spalte: E=(R×C)∕n=23×52∕100=11,96
  • 2. Zeile und 1. Spalte: E=(R×C)∕n=41×48∕100=19,68
  • 2. Zeile und 2. Spalte: E=(R×C)∕n=36×48∕100=17.28
  • 2. Zeile und 3. Spalte: E=(R×C)∕n=23×48∕100=11.04

  Tabelle 11.6 „CEE versus GPA Contingency Table“ wird aktualisiert zu Tabelle 11.7 „Updated CEE versus GPA Contingency Table“.

  Table 11.7 Aktualisierte CEE versus GPA Kontingenztabelle

  		GPA
  		<2.7	2.7 bis 3,2	>3,2	Zeile Gesamt
  CEE	<1800	O=35E=21.32	O=12E=18.72	O=5E=11.96	R = 52
  	≥1800	O=6E=19.68	O=24E=17.28	O=18E=11.04	R = 48
  Spaltengesamt		C = 41	C = 36	C = 23	n = 100

  Die Teststatistik ist

  χ2=Σ(O-E)2E=(35-21.32)221.32+(12−18.72)218.72+(5−11.96)211.96+(6−19.68)219.68+(24−17.28)217.28+(18−11.04)211.04=31.75

• Step 4. Da der CEE-Faktor zwei Niveaus hat und der GPA-Faktor drei Niveaus hat, ist I = 2 und J = 3. Somit folgt die Teststatistik der Chi-Quadrat-Verteilung mit df=(2-1)×(3-1)=2 Freiheitsgraden.

  Da der Test rechtsschief ist, beträgt der kritische Wert χ0,012. Aus Abbildung 12.4 „Kritische Werte von Chi-Quadrat-Verteilungen“ geht hervor, dass χ0.012=9.210 ist, so dass der Ablehnungsbereich [9.210,∞) ist.

• Schritt 5. Da 31,75 > 9,21 ist die Entscheidung, die Nullhypothese zu verwerfen. Siehe Abbildung 11.4. Die Daten liefern auf dem Signifikanzniveau von 1 % genügend Beweise, um zu dem Schluss zu kommen, dass die CEE-Punktzahl und der Notendurchschnitt nicht unabhängig sind: Die Aufnahmeprüfungspunktzahl hat Vorhersagekraft.

Key Takeaways

• Kritische Werte einer Chi-Quadrat-Verteilung mit Freiheitsgraden df sind in Abbildung 12 zu finden.4 „Kritische Werte von Chi-Quadrat-Verteilungen“.
• Ein Chi-Quadrat-TestEin Test, der auf einer Chi-Quadrat-Statistik basiert, um zu überprüfen, ob zwei Faktoren unabhängig sind, kann verwendet werden, um die Hypothese zu bewerten, dass zwei Zufallsvariablen oder Faktoren unabhängig sind.

Übungen

Grundlagen

1. Bestimmen Sie χ0,012 für jede der folgenden Anzahlen von Freiheitsgraden.

   1. df=5
   2. df=11
   3. df=25

2. Ermitteln Sie χ0,052 für jede der folgenden Anzahlen von Freiheitsgraden.

   1. df=6
   2. df=12
   3. df=30

3. Bestimme χ0.102 für jede der folgenden Anzahl von Freiheitsgraden.

   1. df=6
   2. df=12
   3. df=30

4. Finden Sie χ0.012 für jede der folgenden Anzahl von Freiheitsgraden.

   1. df=7
   2. df=10
   3. df=20

5. Für df=7 und α=0.05, find

   1. χα2
   2. χα22

6. Für df=17 und α=0.01, find

   1. χα2
   2. χα22

7. Eine Datenstichprobe wird in eine 2 × 2 Kontingenztabelle sortiert, die auf zwei Faktoren basiert, von denen jeder zwei Stufen hat.

   		Faktor 1
   		Niveau 1	Ebene 2	Zeile gesamt
   Faktor 2	Ebene 1	20	10	R
   	Stufe 2	15	5	R
   Spaltensumme		C	C	n

   1. Finden Sie die Spaltensummen, die Zeilensummen und die Gesamtsumme, n, der Tabelle.
   2. Ermitteln Sie die erwartete Anzahl E der Beobachtungen für jede Zelle unter der Annahme, dass die beiden Faktoren unabhängig sind (verwenden Sie also einfach die Formel E=(R×C)∕n).
   3. Ermitteln Sie den Wert der Chi-Quadrat-Teststatistik χ2.
   4. Ermitteln Sie die Anzahl der Freiheitsgrade der Chi-Quadrat-Teststatistik.

8. Eine Datenstichprobe wird in eine 3 × 2-Kontingenztabelle sortiert, die auf zwei Faktoren basiert, von denen einer drei Stufen und der andere zwei Stufen hat.

   		Faktor 1
   		Niveau 1	Niveau 2	Zeile gesamt
   Faktor 2	Ebene 1	20	10	R
   	Stufe 2	15	5	R
   	Stufe 3	10	20	R
   Spaltensummen		C	C	n

   1. Finden Sie die Spaltensummen, die Zeilensummen und die Gesamtsumme, n, der Tabelle.
   2. Bestimmen Sie die erwartete Anzahl E der Beobachtungen für jede Zelle unter der Annahme, dass die beiden Faktoren unabhängig sind (d.h. verwenden Sie einfach die Formel E=(R×C)∕n).
   3. Bestimmen Sie den Wert der Chi-Quadrat-Teststatistik χ2.
   4. Ermitteln Sie die Anzahl der Freiheitsgrade der Chi-Quadrat-Teststatistik.

Anwendungen

1. Ein Kinderpsychologe glaubt, dass Kinder bei Tests besser abschneiden, wenn sie eine vermeintliche Wahlfreiheit haben. Um diese Überzeugung zu testen, führte der Psychologe ein Experiment durch, bei dem 200 Drittklässler nach dem Zufallsprinzip in zwei Gruppen eingeteilt wurden, A und B. Jedem Kind wurde der gleiche einfache Logiktest gestellt. In Gruppe B durfte sich jedoch jedes Kind ein Textheft mit verschiedenen Zeichnungen auf dem Einband aussuchen. Die Leistung jedes Kindes wurde mit sehr gut, gut und mittelmäßig bewertet. Die Ergebnisse sind in der beigefügten Tabelle zusammengefasst. Prüfen Sie bei einem Signifikanzniveau von 5 %, ob die Daten ausreichend sind, um die Annahme des Psychologen zu stützen.

   		Gruppe
   		A	B
   Leistung	Sehr gut	32	29
   	Gut	55	61
   	Mäßig	10	13

2. In Bezug auf Weinverkostungswettbewerbe, behaupten viele Experten, dass das erste Glas Wein, das serviert wird, einen Referenzgeschmack festlegt und dass ein anderer Referenzwein die relative Rangfolge der anderen Weine im Wettbewerb verändern kann. Um diese Behauptung zu testen, wurden bei einer Weinverkostung drei Weine, A, B und C, serviert. Jedem Teilnehmer wurde ein einziges Glas jedes Weins serviert, jedoch in unterschiedlicher Reihenfolge für die verschiedenen Gäste. Zum Schluss wurde jeder Teilnehmer gebeten, den besten der drei Weine zu nennen. An der Veranstaltung nahmen einhundertzweiundsiebzig Personen teil, deren Top-Auswahl in der Tabelle aufgeführt ist. Testen Sie auf dem Signifikanzniveau von 1 %, ob die Daten genügend Anhaltspunkte für die Behauptung liefern, dass die Präferenz der Weinexperten vom zuerst servierten Wein abhängt.

   		Top Pick
   		A	B	C
   Erstes Glas	A	12	31	27
   	B	15	40	21
   	C	10	9	7

3. Ist LinkshändigkeitLinkshändigkeit erblich? Zur Beantwortung dieser Frage werden 250 Erwachsene nach dem Zufallsprinzip ausgewählt und ihre Händigkeit sowie die Händigkeit ihrer Eltern notiert. Die Ergebnisse sind in der beigefügten Tabelle zusammengefasst. Testen Sie auf dem Signifikanzniveau von 1 %, ob die Daten genügend Anhaltspunkte für die Schlussfolgerung liefern, dass die Händigkeit vererbbar ist.

   		Anzahl der Eltern Links-Händer
   		0	1	2
   Händigkeit	Links	8	10	12
   	Rechts	178	21	21

4. Einige Genetiker behaupten, dass die Gene, die die LinkshändigkeitHändigkeit bestimmen, auch die Entwicklung der Sprachzentren des Gehirns steuern. Wenn diese Behauptung wahr ist, dann wäre es vernünftig zu erwarten, dass Linkshänder tendenziell stärkere Sprachfähigkeiten haben. In einer Studie, mit der diese Behauptung überprüft werden sollte, wurden nach dem Zufallsprinzip 807 Studierende ausgewählt, die an der Graduate Record Examination (GRE) teilnahmen. Ihre Ergebnisse im sprachlichen Teil der Prüfung wurden in drei Kategorien eingeteilt: niedrig, durchschnittlich und hoch, und ihre Händigkeit wurde ebenfalls erfasst. Die Ergebnisse sind in der beigefügten Tabelle aufgeführt. Prüfen Sie auf dem Signifikanzniveau von 5 %, ob die Daten genügend Anhaltspunkte dafür liefern, dass Linkshänder tendenziell über bessere sprachliche Fähigkeiten verfügen.

   		GRE English Scores
   		Low	Average	Hoch
   Händigkeit	Links	18	40	22
   	Rechts	201	360	166

5. Es wird allgemein angenommen, dass Kinder, die in stabilen Familien aufwachsen, in der Regel gute schulische Leistungen erzielen. Um diese Annahme zu überprüfen, untersuchte ein Sozialwissenschaftler die Unterlagen von 290 zufällig ausgewählten Schülern einer öffentlichen High School und notierte die Familienstruktur und den akademischen Status jedes Schülers vier Jahre nach dem Eintritt in die High School. Die Daten wurden dann in eine 2 × 3 Kontingenztabelle mit zwei Faktoren einsortiert. Faktor 1 hat zwei Stufen: Abschluss und kein Abschluss. Faktor 2 hat drei Stufen: kein Elternteil, ein Elternteil und zwei Elternteile. Die Ergebnisse sind in der beigefügten Tabelle aufgeführt. Testen Sie auf dem Signifikanzniveau von 1 %, ob die Daten genügend Anhaltspunkte dafür liefern, dass die Familienstruktur für die schulischen Leistungen der Schüler von Bedeutung ist.

   		Akademischer Status
   		Abschluss	Nicht-Abschluss
   Familie	Kein Elternteil	18	31
   	Ein Elternteil	101	44
   	zwei Elternteile	70	26

6. Die Verwaltung einer großen Mittelschule möchte den Einfluss von Prominenten nutzen, um die Schüler zu ermutigen, in der Schulcafeteria gesündere Entscheidungen zu treffen. Die Cafeteria befindet sich in der Mitte eines offenen Raums. Jeden Tag zur Mittagszeit erhalten die Schüler ihr Mittagessen und ein Getränk in drei separaten Reihen, die zu drei verschiedenen Ausgabestationen führen. Als Experiment hat der Schulverwalter ein Poster eines beliebten Teenager-Popstars aufgehängt, der in jedem der drei Bereiche, in denen Getränke angeboten werden, Milch trinkt, nur dass die Milch auf dem Poster an jedem Ort eine andere ist: eine zeigt weiße Milch, eine zeigt rosa Milch mit Erdbeergeschmack, und eine zeigt Schokoladenmilch. Nach dem ersten Tag des Experiments notierte der Verwalter die Milchauswahl der Schüler getrennt für die drei Linien. Die Daten sind in der beigefügten Tabelle aufgeführt. Testen Sie auf dem Signifikanzniveau von 1 %, ob die Daten genügend Anhaltspunkte dafür liefern, dass die Plakate einen gewissen Einfluss auf die Getränkewahl der Schüler hatten.

   	Schülerwahl
   	Standard	Erdbeere	Schokolade
   Posterwahl
   Regular	38	28	40
   Erdbeere	18	51	24
   Schokolade	32	32	53

Large Datensatz Übung

1. Groß Datensatz 8 enthält das Ergebnis einer Umfrage unter 300 zufällig ausgewählten Erwachsenen, die regelmäßig ins Kino gehen. Für jede Person wurden das Geschlecht und die bevorzugte Art des Films erfasst. Testen Sie auf dem 5 %-Signifikanzniveau, ob die Daten genügend Anhaltspunkte dafür liefern, dass die Faktoren „Geschlecht“ und „bevorzugte Art des Films“ voneinander abhängig sind.

   http://www.gone.2012books.lardbucket.org/sites/all/files/data8.xls

Antworten

1. 1. 15.09,
   2. 24.72,
   3. 44.31
2. 1. 10.64,
   2. 18.55,
   3. 40.26
3. 1. 14.07,
   2. 16.01
4. 1. C1=35, C2=15, R1=30, R2=20, n = 50,
   2. E11=21, E12=9, E21=14, E22=6,
   3. χ2=0.3968,
   4. df=1

1. χ2=0.6698, χ0.052=5.99, nicht verwerfen H0

2. χ2=72.35, χ0.012=9.21, verwerfen H0

3. χ2=21.2784, χ0,012=9,21, verwerfen H0

1. χ2=28,4539. df=3. Ablehnungsbereich: [7.815,∞). Entscheidung: Verwerfe H0 der Unabhängigkeit.