Biografia
Aryabhata è conosciuto anche come Aryabhata I per distinguerlo dal matematico successivo con lo stesso nome, vissuto circa 400 anni dopo. Al-Biruni non ha aiutato a capire la vita di Aryabhata, perché sembrava credere che ci fossero due diversi matematici chiamati Aryabhata che vivevano allo stesso tempo. Ha quindi creato una confusione di due diversi Aryabhata che non è stata chiarita fino al 1926 quando B Datta ha dimostrato che i due Aryabhata di al-Biruni erano la stessa persona.
Sappiamo l’anno di nascita di Aryabhata poiché egli ci dice che aveva ventitré anni quando scrisse Aryabhatiya Ⓣ che terminò nel 499. Abbiamo dato Kusumapura, ritenuta vicina a Pataliputra (che fu rifondata come Patna nel Bihar nel 1541), come luogo di nascita di Aryabhata, ma questo è tutt’altro che certo, come lo è anche la posizione di Kusumapura stessa. Come scrive Parameswaran in :-
… nessun verdetto finale può essere dato riguardo ai luoghi di Asmakajanapada e Kusumapura.
Sappiamo che Aryabhata scrisse Aryabhatiya Ⓣ a Kusumapura al tempo in cui Pataliputra era la capitale dell’impero Gupta e un importante centro di apprendimento, ma ci sono stati numerosi altri luoghi proposti dagli storici come luogo di nascita. Alcuni ipotizzano che sia nato nel sud dell’India, forse in Kerala, Tamil Nadu o Andhra Pradesh, mentre altri ipotizzano che sia nato nel nord-est dell’India, forse in Bengala. In esso si sostiene che Aryabhata sia nato nella regione di Asmaka della dinastia Vakataka nell’India del sud anche se l’autore ha accettato che abbia vissuto la maggior parte della sua vita a Kusumapura nell’impero Gupta del nord. Tuttavia, dare Asmaka come luogo di nascita di Aryabhata si basa su un commento fatto da Nilakantha Somayaji alla fine del XV secolo. La maggior parte degli storici ritiene che Nilakantha abbia confuso Aryabhata con Bhaskara I, che fu un commentatore successivo dell’Aryabhatiya Ⓣ.
Dovremmo notare che Kusumapura divenne uno dei due maggiori centri matematici dell’India, l’altro è Ujjain. Entrambi sono nel nord, ma Kusumapura (supponendo che sia vicino a Pataliputra) è sul Gange ed è il più a nord. Pataliputra, essendo la capitale dell’impero Gupta al tempo di Aryabhata, era il centro di una rete di comunicazioni che permetteva all’apprendimento da altre parti del mondo di raggiungerla facilmente, e permetteva anche ai progressi matematici e astronomici fatti da Aryabhata e dalla sua scuola di raggiungere tutta l’India e alla fine anche il mondo islamico.
Per quanto riguarda i testi scritti da Aryabhata solo uno è sopravvissuto. Tuttavia Jha sostiene che:-
… Aryabhata fu autore di almeno tre testi astronomici e scrisse anche alcune strofe libere.
Il testo sopravvissuto è il capolavoro di Aryabhata, l’Aryabhatiya Ⓣ che è un piccolo trattato astronomico scritto in 118 versi che fornisce una sintesi della matematica indù fino a quel tempo. La sua sezione matematica contiene 33 versi che danno 66 regole matematiche senza prove. L’Aryabhatiya Ⓣ contiene un’introduzione di 10 versi, seguita da una sezione sulla matematica con, come abbiamo appena detto, 33 versi, poi una sezione di 25 versi sul calcolo del tempo e sui modelli planetari, con la sezione finale di 50 versi che riguarda la sfera e le eclissi.
C’è una difficoltà con questa disposizione che è discussa in dettaglio da van der Waerden in . Van der Waerden suggerisce che in realtà l’introduzione di 10 versi sia stata scritta più tardi rispetto alle altre tre sezioni. Una ragione per credere che le due parti non fossero intese come un tutto è che la prima sezione ha un metro diverso dalle altre tre sezioni. Tuttavia, i problemi non si fermano qui. Abbiamo detto che la prima sezione ha dieci versi e infatti Aryabhata intitola la sezione Set di dieci strofe giti. Ma in realtà contiene undici strofe giti e due strofe arya. Van der Waerden suggerisce che tre versi siano stati aggiunti e identifica un piccolo numero di versi nelle sezioni rimanenti che sostiene siano stati aggiunti da un membro della scuola di Aryabhata a Kusumapura.
La parte matematica dell’Aryabhatiya Ⓣ copre aritmetica, algebra, trigonometria piana e sferica. Contiene anche frazioni continuate, equazioni quadratiche, somme di serie di potenza e una tavola dei seni. Esaminiamo alcuni di questi in un po’ più in dettaglio.
Prima di tutto guardiamo il sistema di rappresentazione dei numeri che Aryabhata ha inventato e usato nell’Aryabhatiya Ⓣ. Esso consiste nel dare valori numerici alle 33 consonanti dell’alfabeto indiano per rappresentare 1, 2, 3, … , 25, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100. I numeri superiori sono indicati da queste consonanti seguite da una vocale per ottenere 100, 10000, …. In effetti il sistema permette di rappresentare i numeri fino a 101810^{18}1018 con una notazione alfabetica. Ifrah sostiene che Aryabhata conosceva anche i simboli numerici e il sistema dei valori di luogo. Egli scrive in :-
… è estremamente probabile che Aryabhata conoscesse il segno dello zero e i numeri del sistema dei valori di luogo. Questa supposizione si basa sui seguenti due fatti: primo, l’invenzione del suo sistema di conteggio alfabetico sarebbe stata impossibile senza lo zero o il sistema dei valori di luogo; secondo, egli esegue calcoli sulle radici quadrate e cubiche che sono impossibili se i numeri in questione non sono scritti secondo il sistema dei valori di luogo e lo zero.
In seguito esaminiamo brevemente alcune algebre contenute nell’Aryabhatiya Ⓣ. Questo lavoro è il primo di cui siamo a conoscenza che esamina le soluzioni intere di equazioni della forma by=ax+cby = ax + cby=ax+c e by=ax-cby = ax – cby=ax-c, dove a,b,ca, b, ca,b,c sono interi. Il problema è nato dallo studio del problema in astronomia di determinare i periodi dei pianeti. Aryabhata usa il metodo kuttaka per risolvere problemi di questo tipo. La parola kuttaka significa “polverizzare” e il metodo consisteva nel suddividere il problema in nuovi problemi dove i coefficienti diventavano sempre più piccoli ad ogni passo. Il metodo qui è essenzialmente l’uso dell’algoritmo euclideo per trovare il più alto fattore comune di aaa e bbb ma è anche legato alle frazioni continuate.
Aryabhata ha dato un’approssimazione accurata per π. Ha scritto nell’Aryabhatiya Ⓣ quanto segue:-
Aggiungi quattro a cento, moltiplica per otto e poi aggiungi sessantaduemila. il risultato è circa la circonferenza di un cerchio di diametro ventimila. Con questa regola il rapporto tra circonferenza e diametro è dato.
Questo dà π=6283220000=3.1416\pi = \large\frac{62832}{20000}\normalsize = 3.1416π=2000062832=3.1416 che è un valore sorprendentemente preciso. Infatti π = 3,14159265 corretto in 8 punti. Se ottenere un valore così accurato è sorprendente, è forse ancora più sorprendente che Aryabhata non usi il suo valore accurato per π ma preferisca usare √10 = 3,1622 nella pratica. Aryabhata non spiega come ha trovato questo valore preciso ma, per esempio, Ahmad considera questo valore come un’approssimazione alla metà del perimetro di un poligono regolare di 256 lati inscritto nel cerchio unitario. Tuttavia, in Bruins mostra che questo risultato non può essere ottenuto dal raddoppio del numero di lati. Un altro interessante documento che discute questo accurato valore di π di Aryabhata è quello in cui Jha scrive:-
Il valore di π di Aryabhata I è un’approssimazione molto vicina al valore moderno e il più accurato tra quelli degli antichi. Ci sono ragioni per credere che Aryabhata abbia escogitato un metodo particolare per trovare questo valore. Si dimostra con sufficienti motivi che Aryabhata stesso lo usava, e molti matematici indiani successivi e persino gli arabi lo adottarono. La congettura che il valore di π di Aryabhata sia di origine greca è esaminata criticamente e si trova senza fondamento. Aryabhata ha scoperto questo valore in modo indipendente e ha anche capito che π è un numero irrazionale. Egli aveva un background indiano, senza dubbio, ma superò tutti i suoi predecessori nella valutazione di π. Così il merito di aver scoperto questo esatto valore di π può essere attribuito al celebre matematico Aryabhata I.
Ora guardiamo la trigonometria contenuta nel trattato di Aryabhata. Egli ha dato una tabella dei seni calcolando i valori approssimativi a intervalli di 90°24largefrac{90°}{24}normalsize2490° = 3° 45′. Per fare questo ha usato una formula per sin(n+1)x-sinnx\sin(n + 1)x – \sin nxsin(n+1)x-sinnx in termini di sinnx\sin nxsinnx e sin(n-1)x\sin (n – 1)xsin(n-1)x. Ha anche introdotto il versine (versin = 1 – coseno) nella trigonometria.
Altre regole date da Aryabhata includono quella per sommare i primi nnn interi, i quadrati di questi interi e anche i loro cubi. Aryabhata dà formule per le aree di un triangolo e di un cerchio che sono corrette, ma le formule per i volumi di una sfera e di una piramide sono ritenute errate dalla maggior parte degli storici. Per esempio Ganitanand descrive come “errori matematici” il fatto che Aryabhata dia la formula errata V=Ah/2V = Ah/2V=Ah/2 per il volume di una piramide con altezza h e base triangolare di area AAA. Sembra anche dare un’espressione errata per il volume di una sfera. Tuttavia, come spesso accade, niente è così semplice come appare ed Elfering (vedi per esempio) sostiene che questo non è un errore ma piuttosto il risultato di una traduzione errata.
Questo si riferisce ai versi 6, 7 e 10 della seconda sezione dell’Aryabhatiya Ⓣ e in Elfering produce una traduzione che dà la risposta corretta sia per il volume di una piramide che per una sfera. Tuttavia, nella sua traduzione Elfering traduce due termini tecnici in modo diverso dal significato che hanno di solito. Senza qualche prova a sostegno del fatto che questi termini tecnici sono stati usati con questi significati diversi in altri luoghi, sembrerebbe comunque che Aryabhata abbia effettivamente dato le formule errate per questi volumi.
Abbiamo esaminato la matematica contenuta nell’Aryabhatiya Ⓣ ma questo è un testo di astronomia quindi dovremmo dire qualcosa sull’astronomia che contiene. Aryabhata dà un trattamento sistematico della posizione dei pianeti nello spazio. Ha dato la circonferenza della terra come 4 967 yojana e il suo diametro come 15811241 581largefrac{1}{24}{normalsize1581241 yojana. Poiché 1 yojana = 5 miglia, questo dà la circonferenza come 24 835 miglia, che è un’eccellente approssimazione al valore attualmente accettato di 24 902 miglia. Egli credeva che l’apparente rotazione dei cieli fosse dovuta alla rotazione assiale della Terra. Questa è una visione abbastanza notevole della natura del sistema solare che i commentatori successivi non hanno potuto seguire e la maggior parte ha cambiato il testo per salvare Aryabhata da quelli che pensavano fossero stupidi errori!
Aryabhata dà il raggio delle orbite planetarie in termini di raggio dell’orbita Terra/Sole come essenzialmente i loro periodi di rotazione attorno al Sole. Crede che la Luna e i pianeti brillino per luce solare riflessa, incredibilmente crede che le orbite dei pianeti siano ellissi. Spiega correttamente le cause delle eclissi di Sole e di Luna. La credenza indiana fino a quel tempo era che le eclissi fossero causate da un demone chiamato Rahu. Il suo valore per la lunghezza dell’anno di 365 giorni 6 ore 12 minuti e 30 secondi è una sovrastima poiché il vero valore è inferiore a 365 giorni 6 ore.