Test del chi-quadrato per l’indipendenza

Tabella 11.1 Sesso del bambino e frequenza cardiaca

Tabella 11.2 Genere del bambino aggiornato e frequenza cardiaca

Figura 11.3 Previsione del genere del bambino

Tabella 11.3 Tabella di contingenza generale

Tabella 11.4 Tabella di contingenza generale semplificata

dove R è il totale della riga e C è il totale della colonna corrispondente alla cella, e n è la dimensione del campione.

Tabella 11.5 Tabella di contingenza generale aggiornata

Statistica di test per testare l’indipendenza di due fattori

χ2=Σ(O-E)2E

dove la somma è su tutte le celle centrali della tabella.

Se

1. i due fattori di studio sono indipendenti, e
2. il conteggio osservato O di ogni cella nella Tabella 11.5 “Tabella di contingenza generale aggiornata” è almeno 5,

allora χ2 segue approssimativamente una distribuzione chi-quadro con df=(I-1)×(J-1) gradi di libertà.

Esempio 1

Un ricercatore desidera indagare se i punteggi degli studenti in un esame di ammissione al college (CEE) hanno un qualche potere indicativo per il futuro rendimento al college misurato dal GPA. In altre parole, vuole indagare se i fattori CEE e GPA sono indipendenti o meno. Seleziona a caso n = 100 studenti in un college e annota il punteggio di ogni studente all’esame di ammissione e la sua media dei voti alla fine del secondo anno. Divide i punteggi dell’esame di ammissione in due livelli e le medie dei voti in tre livelli. Ordinando i dati secondo queste divisioni, forma la tabella di contingenza mostrata come Tabella 11.6 “CEE versus GPA Contingency Table”, in cui i totali di riga e colonna sono già stati calcolati.

Test, al livello di significatività dell’1%, se questi dati forniscono prove sufficienti per concludere che i punteggi CEE indicano i futuri livelli di rendimento delle matricole universitarie in arrivo, misurati dal GPA.

Soluzione:

Eseguiamo il test utilizzando l’approccio del valore critico, seguendo il consueto metodo in cinque fasi delineato alla fine della Sezione 8.1 “Gli elementi della verifica delle ipotesi” nel Capitolo 8 “Verifica delle ipotesi”.

• Step 1. Le ipotesi sono

  H0:CEE e GPA sono fattori indipendentivs. Ha:CEE e GPA non sono fattori indipendenti

• Passo 2. La distribuzione è chi-quadrato.

• Passo 3. Per calcolare il valore della statistica del test dobbiamo prima calcolare il numero atteso per ciascuna delle sei celle centrali (quelle le cui voci sono in grassetto):

  • 1a riga e 1a colonna: E=(R×C)∕n=41×52∕100=21,32
  • 1a riga e 2a colonna: E=(R×C)∕n=36×52∕100=18,72
  • 1a riga e 3a colonna: E=(R×C)∕n=23×52∕100=11,96
  • Seconda riga e 1a colonna: E=(R×C)∕n=41×48∕100=19,68
  • Seconda riga e 2a colonna: E=(R×C)∕n=36×48∕100=17,28
  • seconda riga e terza colonna: E=(R×C)∕n=23×48∕100=11.04

  Tabella 11.6 “CEE versus GPA Contingency Table” è aggiornata alla tabella 11.7 “Updated CEE versus GPA Contingency Table”.

  Tabella 11.7 Tabella di contingenza CEE contro GPA aggiornata

  		GPA
  		<2.7	2.7 a 3.2	>3.2	Row Total
  CEE	1800	O=35E=21.32	O=12E=18.72	O=5E=11.96	R = 52
  	≥1800	O=6E=19.68	O=24E=17.28	O=18E=11.04	R = 48
  Colonna Totale		C = 41	C = 36	C = 23	n = 100

  La statistica del test è

  χ2=Σ(O-E)2E=(35-21.32)221.32+(12−18.72)218.72+(5−11.96)211.96+(6−19.68)219.68+(24−17.28)217.28+(18−11.04)211.04=31.75

• Step 4. Poiché il fattore CEE ha due livelli e il fattore GPA ne ha tre, I = 2 e J = 3. Quindi la statistica del test segue la distribuzione chi-quadro con df=(2-1)×(3-1)=2 gradi di libertà.

  Siccome il test è a coda destra, il valore critico è χ0,012. Leggendo dalla Figura 12.4 “Valori critici delle distribuzioni Chi-quadro”, χ0.012=9.210, quindi la regione di rifiuto è [9.210,∞).

• Passo 5. Poiché 31,75 > 9,21 la decisione è di rifiutare l’ipotesi nulla. Vedi Figura 11.4. I dati forniscono prove sufficienti, al livello di significatività dell’1%, per concludere che il punteggio CEE e il GPA non sono indipendenti: il punteggio dell’esame di ammissione ha potere predittivo.

Key Takeaways

• I valori critici di una distribuzione chi-quadro con gradi di libertà df si trovano nella Figura 12.4 “Valori critici delle distribuzioni chi-quadro”.
• Un test chi-quadratoUn test basato su una statistica chi-quadro per controllare se due fattori sono indipendenti. può essere usato per valutare l’ipotesi che due variabili casuali o fattori siano indipendenti.

Esercizi

Basico

1. Trova χ0,012 per ciascuno dei seguenti gradi di libertà.

   1. df=5
   2. df=11
   3. df=25

2. Trova χ0,052 per ognuno dei seguenti gradi di libertà.

   1. df=6
   2. df=12
   3. df=30

3. Trova χ0.102 per ciascuno del seguente numero di gradi di libertà.

   1. df=6
   2. df=12
   3. df=30

4. Trova χ0.012 per ciascuno del seguente numero di gradi di libertà.

   1. df=7
   2. df=10
   3. df=20

5. Per df=7 e α=0.05, trovare

   1. χα2
   2. χα22

6. Per df=17 e α=0.01, trovare

   1. χα2
   2. χα22

7. Un campione di dati è ordinato in una tabella di contingenza 2 × 2 basata su due fattori, ognuno dei quali ha due livelli.

   		Fattore 1
   		Livello 1	Livello 2	Riga Totale
   Fattore 2	Livello 1	20	10	R
   	Livello 2	15	5	R
   Totale colonna		C	C	N

   1. Trova i totali di colonna, i totali di riga e il totale generale, n, della tabella.
   2. Trova il numero atteso E di osservazioni per ogni cella in base all’ipotesi che i due fattori siano indipendenti (cioè, basta usare la formula E=(R×C)∕n).
   3. Trova il valore del test statistico chi-quadrato χ2.
   4. Trova il numero di gradi di libertà della statistica del test del chi-quadrato.

8. Un campione di dati è ordinato in una tabella di contingenza 3 × 2 basata su due fattori, uno dei quali ha tre livelli e l’altro ha due livelli.

   		Fattore 1
   		Livello 1	Livello 2	Riga Totale
   Fattore 2	Livello 1	20	10	R
   	Livello 2	15	5	R
   	Livello 3	10	20	R
   Totale di colonna		C	C	n

   1. Cerca i totali di colonna, i totali di riga e il totale generale, n, della tabella.
   2. Trova il numero atteso E di osservazioni per ogni cella in base all’ipotesi che i due fattori siano indipendenti (cioè, basta usare la formula E=(R×C)∕n).
   3. Trova il valore del test statistico chi-quadrato χ2.
   4. Trova il numero di gradi di libertà della statistica del test del chi-quadrato.

Applicazioni

1. Uno psicologo infantile crede che i bambini eseguano meglio i test quando viene data loro la libertà di scelta percepita. Per testare questa convinzione, lo psicologo ha condotto un esperimento in cui 200 bambini di terza elementare sono stati assegnati a caso a due gruppi, A e B. Ogni bambino ha ricevuto lo stesso semplice test di logica. Tuttavia, nel gruppo B, ad ogni bambino è stata data la libertà di scegliere un libretto di testo tra molti con vari disegni sulle copertine. La prestazione di ogni bambino è stata valutata come Molto buona, Buona e Discreta. I risultati sono riassunti nella tabella fornita. Testate, al livello di significatività del 5%, se ci sono prove sufficienti nei dati per sostenere la convinzione dello psicologo.

   		Gruppo
   		A	B
   Performance	Molto Buono	32	29
   	Buono	55	61
   	Buono	10	13

2. Per quanto riguarda le gare di degustazione di vini, molti esperti sostengono che il primo bicchiere di vino servito stabilisce un gusto di riferimento e che un vino di riferimento diverso può alterare la classifica relativa degli altri vini in concorso. Per testare questa affermazione, tre vini, A, B e C, sono stati serviti in una degustazione di vini. Ad ogni persona è stato servito un singolo bicchiere di ogni vino, ma in ordini diversi per i diversi ospiti. Alla fine, ad ogni persona è stato chiesto di nominare il migliore dei tre. Centosettantadue persone erano presenti all’evento e le loro scelte migliori sono riportate nella tabella fornita. Testare, al livello di significatività dell’1%, se ci sono prove sufficienti nei dati per sostenere l’affermazione che la preferenza degli esperti di vino dipende dal primo vino servito.

   		Top Pick
   		A	B	C
   Primo Vetro	A	12	31	27
   	B	15	40	21
   	C	10	9	7

3. Essere mancinimancino è ereditario? Per rispondere a questa domanda, 250 adulti sono stati selezionati a caso e sono stati annotati il loro senso della mano e quello dei loro genitori. I risultati sono riassunti nella tabella fornita. Verifica, al livello di significatività dell’1%, se ci sono prove sufficienti nei dati per concludere che c’è un elemento ereditario nella manualità.

   		Numero di genitori manciniMano sinistra
   		0	1	2
   Mano	Sinistra	8	10	12
   	Destra	178	21	21

4. Alcuni genetisti sostengono che i geni che determinano la sinistramancini governano anche lo sviluppo dei centri del linguaggio del cervello. Se questa affermazione è vera, allora sarebbe ragionevole aspettarsi che i mancini tendano ad avere capacità linguistiche più forti. Uno studio progettato per testare questa affermazione ha selezionato a caso 807 studenti che hanno preso il Graduate Record Examination (GRE). I loro punteggi nella parte linguistica dell’esame sono stati classificati in tre categorie: basso, medio e alto, e il loro mancinismo è stato anche annotato. I risultati sono riportati nella tabella fornita. Testate, al livello di significatività del 5%, se ci sono prove sufficienti nei dati per concludere che i mancini tendono ad avere capacità linguistiche più forti.

   		Punteggi GRE inglese
   		Basso	Media	Alto
   Manovra	Sinistra	18	40	22
   	Destra	201	360	166

5. Si crede generalmente che i bambini cresciuti in famiglie stabili tendano ad andare bene a scuola. Per verificare tale credenza, uno scienziato sociale ha esaminato 290 registri di studenti selezionati a caso in una scuola superiore pubblica e ha annotato la struttura familiare e lo stato accademico di ogni studente quattro anni dopo essere entrato nella scuola superiore. I dati sono stati poi ordinati in una tabella di contingenza 2 × 3 con due fattori. Il fattore 1 ha due livelli: laureato e non laureato. Il fattore 2 ha tre livelli: nessun genitore, un genitore e due genitori. I risultati sono riportati nella tabella fornita. Testate, al livello di significatività dell’1%, se ci sono prove sufficienti nei dati per concludere che la struttura familiare conta nel rendimento scolastico degli studenti.

   		Stato accademico
   		Laureato	Non laureato
   Famiglia	Nessun genitore	18	31
   	Un genitore	101	44
   	Due genitori	70	26

6. L’amministratore di una grande scuola media vuole usare l’influenza della celebrità per incoraggiare gli studenti a fare scelte più sane nella mensa scolastica. La mensa è situata al centro di uno spazio aperto. Ogni giorno all’ora di pranzo gli studenti prendono il loro pranzo e una bevanda in tre file separate che portano a tre stazioni di servizio separate. Come esperimento, l’amministratore della scuola ha esposto un poster di una popolare pop star adolescente che beve latte in ciascuna delle tre aree in cui vengono fornite le bevande, tranne che il latte nel poster è diverso in ogni posizione: una mostra il latte bianco, una mostra il latte rosa al gusto di fragola e una mostra il latte al cioccolato. Dopo il primo giorno dell’esperimento, l’amministratore ha annotato le scelte di latte degli studenti separatamente per le tre linee. I dati sono riportati nella tabella fornita. Testate, al livello di significatività dell’1%, se ci sono prove sufficienti nei dati per concludere che i poster hanno avuto un certo impatto sulle scelte delle bevande degli studenti.

   	Student Choice
   	Regular	Strawberry	Chocolate
   Poster Choice
   Regolare	38	28	40
   Strawberry	18	51	24
   Cioccolato	32	32	53

Grande Set di dati Esercizio

1. Grande Il set di dati 8 registra il risultato di un sondaggio su 300 adulti selezionati a caso che vanno regolarmente al cinema. Per ogni persona sono stati registrati il sesso e il tipo di film preferito. Testate, al livello di significatività del 5%, se nei dati ci sono prove sufficienti per concludere che i fattori “genere” e “tipo di film preferito” sono dipendenti.

   http://www.gone.2012books.lardbucket.org/sites/all/files/data8.xls

Risposte

1. 1. 15.09,
   2. 24.72,
   3. 44.31
2. 1. 10.64,
   2. 18.55,
   3. 40.26
3. 1. 14.07,
   2. 16.01
4. 1. C1=35, C2=15, R1=30, R2=20, n = 50,
   2. E11=21, E12=9, E21=14, E22=6,
   3. χ2=0.3968,
   4. df=1

1. χ2=0,6698, χ0.052=5.99, non rifiutare H0

2. χ2=72.35, χ0.012=9.21, rifiutare H0

3. χ2=21.2784, χ0.012=9.21, rifiutare H0

1. χ2=28.4539. df=3. Regione di rifiuto: [7.815,∞). Decisione: Rifiutare H0 di indipendenza.